等角写像

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注意

Γ:[a、b]→ を正則曲線とする。

このとき、t∈[a、b]に対して、ArgΓ’(t)を定義する。

これはベクトルΓ’(t)と実軸の傾きを意味する。

正則曲線とは、つねにΓ’(t)≠0 となる曲線のことである。

つまり、極端な挙動をしない曲線である。

言い換えれば、これはΓのヤコビ行列式が 0 でないことを意味する。

定義 ( 交角 )

Γ、Γ を2つの正則曲線とする。

Γ と Γ は交点 a をもつとする。

つまり、ある s、t に対して a=Γ(s)=Γ(t)となる。

このとき、ArgΓ’(t)−ArgΓ’(s)を 『 交点 a におけるΓとΓ の交角 』 という。

C5

f:D→ は連続かつ単射であるとする。

Γ、Γ を正則曲線とする。

a をΓとΓの交点とする。

このとき、f(a)は f*Γ と f*Γ の交点である。

補足

f が連続であるから、f*Γ や f*Γ も曲線である。

証明

明らかである。

定義 ( 等角写像 )

f:D→ は C級かつ単射であるとする。

定義(交角)の状況を引き継ぐ。

次が成り立つ。

(*) Arg(f*Γ)’(t)−Arg(f*Γ)’(s)=ArgΓ’(t)−ArgΓ’(s)

このとき、「 f はΓ と Γ の交点 a で交角を保存する 」 という。

とくに、f が任意の点 z∈D で交角を保存するとき、f を 『 等角写像 』 という。

上記のように定義できるのは C5 のおかげである。

C6

f:D→ を正則関数とする。

点 a∈D に対し、f’(a)≠0 であるとする。

このとき、f は点 a で交角を保存する。

証明

Γ、Γ を正則曲線とする。

a=Γ(s)=Γ(t)とする。

点 a におけるΓとΓ の交角は ArgΓ’(t)−ArgΓ’(s)である。

点 f(a)における f*Γ と f*Γ の交角は、Arg(f*Γ)’(t)−Arg(f*Γ)’(s)である。

一方、(f*Γ)’(s)=f’(a)Γ’(s)、(f*Γ)’(t)=f’(a)Γ’(t)である。

よって、f は点 a で交角を保存する。

C7 ( 等角⇔単葉 )

f:D→ は、C級かつ単射であるとする。

( 単射の代わりに、ヤコビ行列式が 0 でないと仮定しても意味は同じである )

このとき、次は同値である。

(1) f は等角写像である。

(2) f は単葉である。

証明

(1)⇒(2)の証明は省略する。

(2)⇒(1)は明らかである。(※C6)