除去可能特異点、極、真性特異点

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参考 ( 特異点 )

f(z) が点 z=a において正則でないとき、a を 『 f(z)の特異点 』 という。

参考 ( 孤立特異点 )

特異点 a の近傍に a 以外の特異点がないとき、a を 『 孤立特異点 』 という。

定義 ( ord )

f(z)=−∞≦n≦∞(z−α) を点αにおけるローラン展開とする。

ord(f、α)=min{ n|c≠0 } と定義する。

最小値が存在しない場合、ord(f、α)=−∞ と規約する。

定義 ( 除去可能特異点 )

f(z)=−∞≦n≦∞(z−α) を点αにおけるローラン展開とする。

ord(f、α)≧0 であるとする。

このとき、点αを 『 f の除去可能特異点 』 という。

つまり、f(z)=0≦n≦∞(z−α) と表せる。

これは巾級数であるから、f はαにおいて正則である。

つまり、除去可能特異点は特異点ではない。

例えば、f(z)=sinz/z とおく。

一見すると、点 z は特異点であるように思える。

しかし、後で示すように、これは特異点ではない。

これが 「 除去可能 」 という名前の由来である。

定義 ( 極 )

f(z)=−∞≦n≦∞(z−α) を点αにおけるローラン展開とする。

ord(f、α)>−∞ であるとする。

このとき、α を 『 f の極 』 という。

とくに、m=−ord(f、α) を 『 αの位数 』 という。

つまり、m位の極とは、ローラン展開の特異部が m 個の項をもつ点である。

定義 ( 真性特異点 )

f(z)=−∞≦n≦∞(z−α) を点αにおけるローラン展開とする。

ord(f、α)=−∞ であるとする。

このとき、α を 『 f の真性特異点 』 という。

つまり、真性特異点とは、ローラン展開の特異部が無限個の項をもつ点である。

注意 ( 高々極 )

除去可能特異点または極である点を 『 高々極 』 という。

B19

f(z)、g(z) を、点 z=αの近傍で定義された正則関数とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) α は f/g の高々極であり、ord(f/g、α)=ord(f、α)−ord(g、α)

とくに、f と g がαを高々極としてもつとき、次が成り立つ。

(2) ord(fg、α)=ord(f、α)+ord(g、α)

(3) ord(f+g、α)≧min{ ord(f、α)、ord(g、α) }

(1)の証明

p=ord(f、α)、q=ord(g、α) とおく。

いま、f(z)=(z−α)(z) と表せる。(※テイラー展開)

また、g(z)=(z−α)(z) と表せる。(※テイラー展開)

いま、f(α)≠0、g(α)≠0 である。

よって、f/g はαにおいて正則である。

よって、f/g=c+c(z−α)+・・・である。

いま、c=f(α)/g(α)≠0 である。

また、f(z)/g(z)=c(z−α)p−q+c(z−α)p−q+1+・・・である。

つまり、ord(f/g、α)=ord(f、α)−ord(g、α) である。

(2)の証明

明らかである。

(3)の証明

明らかである。

参考 ( 具体例〜その1 )

f(z)=sinz/z とおく。

このとき、z=0 は f の除去可能特異点である。

補足

証明は2通り用意した。

証明〜その1

f のローラン展開は次のように表せる。

(*) f(z)=1−z/3!+z/5!+・・・

つまり、ローラン展開は特異部をもたない。

つまり、z=0 は f の除去可能特異点である。

証明〜その2

h(z)=sinz、g(z)=z とおく。

いま、f=h/g である。

また、h と g は複素平面上で正則である。

いま、h(1)(0)≠0 である。

また、g(1)(0)≠0 である。

よって、ord(h、0)=min{ n|h(n)(0)≠0 }=1、ord(g、0)=min{ n|g(n)(0)≠0 }=1 である。

よって、ord(f、0)=ord(h、0)−ord(g、0)=1−1=0 である。(※B19)

つまり、z=0 は f の除去可能特異点である。

参考 ( 具体例〜その2 )

f(z)=1/(z−1) とおく。

このとき、z=1、−1 は、f の1位の極である。

補足

証明は2通り用意した。

証明〜その1

z=1 におけるローラン展開は、



つまり、特異部は 1/2(z−1) のみである。

よって、1 は f の1位の極である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

z=−1 におけるローラン展開は、



つまり、特異部は −1/2(z+1) のみである。

よって、−1 は f の1位の極である。

証明〜その2

h(z)=1、g(z)=z−1 とおく。

いま、h と g は複素平面上で正則である。

また、f=h/g である。

また、h(±1)≠0 であり、g(1)(±1)≠0 である。

よって、ord(h、±1)=min{ n|h(n)(±1)≠0 }=0 である。

また、ord(g、±1)=min{ n|g(n)(±1)≠0 }=1 である。

よって、ord(f、±1)=ord(h、±1)−ord(g、±1)=−1 である。(※B19)

つまり、z=±1 は f(z) の1位の極である。

参考 ( 具体例〜その3 )

f(z)=e1/z とおく。

このとき、z=0 は f の真性特異点である。

証明

f の z=0 におけるローラン展開は、次のように表される。

(*) f=・・・(1/n!)z−n+・・・+(1/z!)z−2+z−1+1

つまり、特異部は、・・・(1/n!)z−n+・・・+(1/z!)z−2+z−1 である。

つまり、特異部は無限個の項をもつ。

つまり、z=0 は f の真性特異点である。