複素解析インデックス

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次の(1)〜(3)は(少し条件を調節すれば)同値である。

(1) 正則性

(2) コーシー・リーマン方程式

(3) 巾級数展開可能

複素解析の教科書では(1)〜(3)の同値性を同時進行で扱うことが多い。

これは効率的であるが、入門者が定理の森に迷う可能性も大きい。

そこで、このサイトではこれらの議論を完全に分けた。

複素解析インデックスでは(1)⇔(2)のみを扱う。

続・複素解析インデックスでは(1)⇔(3)を扱う。




第0章(S) 参考

□ 複素数の導入

第1章(A) 複素関数

□ 複素数、複素平面
□ 複素関数、オイラーの公式、複素三角関数

□ リーマン球面
□ 複素対数関数

第2章(B) 複素関数の微分

□ 複素関数の極限と連続性

□ 曲線と弧状連結
□ 連結と弧状連結

□ 複素微分、正則関数
□ 正則性⇔CR方程式

※ 特異点をもつ関数

第3章(C) 線積分の構成

□ 曲線の向き
□ 曲線の微分
□ 曲線の長さ

□ 線積分の定義(区分求積ver)
□ 線積分の定義(置換積分ver)
□ 線素による積分

※ 曲線の積分は重心に定義域の長さを掛けたものである

□ 原始関数(複素解析ver)
□ 閉曲線、グリーンの定理

第4章(D) 留数定理

□ コーシーの積分定理〜その1(不定積分)
□ コーシーの積分定理〜その2(単連結領域ver、多重連結領域ver)

□ コーシーの積分公式、グルサの公式
□ 留数定理(極、位数)