表記について

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参考

高校科目の場合、概念について、その呼び名が異なるということはほとんどない。

これは、高校科目の内容が単純であること、内容が統一されていることによる。

一方、大学の場合は呼び名が少し異なる場合もある。

あるいは、表記について若干の違いがある場合もある。

そこで、このページでは、表記について重要なことをいくつか述べる。

参考 ( 不等号 )

次の表記はいずれも同じ意味である。



現在(2016年)のところ、高校では右の記号がよく用いられる。

ただし、大学以降では左の記号が用いられることが多い。

参考 ( 近似 )

高校数学では近似は x≒y で表されることが多い。

しかし、大学では次のように表されることが多い。

参考 ( )

萩L号について次のような2通りの表記方がある。

文中では1≦k≦n などのように表すことも多い。

参考 ( Π )

よく知られているように、a、・・・、a の和は次のように表される。



一方、a、・・・、a の積は次のように表される。

むろん、次が成り立つ。

参考 ( ∫ )

次の記号はいずれも同じ意味である。



また、次の記号はいずれも同じ意味である。

文中では ∫[a、b]f(x) などのように表すことも多い。

参考 ( ∫dxf(x) )

高校数学では積分を ∫f(x)dx と表す。

一方、大学の数学では積分を ∫dxf(x) と表すこともある。

なぜなら、大学では 『 重積分 』 が登場し、積分の表記が複雑になる場合があるからである。

例えば、次のような表し方をすると、変数と∫の対応関係が分かりづらい。



一方、次のように表すと分かりやすい。



むろん、上記の場合であればそれほど大きな問題はない。

しかし、実際にはさらに複雑な表記も登場する場合がある。

よって、後者の表記にも慣れておくことは有用である。

もしかしたら、高校の表記に慣れている人は大学の表記に戸惑うかもしれない。

しかし、思い返してみると、大学の積分の表記は と同じである。

つまり、



この意味で、むしろ大学の積分の表記は自然である。

参考 ( 線形代数 )

大学では 『 線形代数 』 と呼ばれる分野がある。

これは 『 線型代数 』 と書かれることもある。

どちらも意味は同じなので区別する必要はない。

昔は 『 線型代数 』 が用いられていたが、最近は 『 線形代数 』 が主流になってきた。

参考 ( ベクトル空間 )

線形代数には 『 ベクトル空間 』 という用語が登場する。

これは 『 線形空間 』 と呼ばれることもある。

参考 ( 冪集合、冪級数 )

集合論や複素解析では 『 冪集合 』 『 冪級数 』 という用語が登場する。

『 冪 』 は 「 べき 」 と読む。

ただし、漢字が複雑すぎるので、その一部を取って 『 巾 』 と書くことも多い。

この 「 べき 」 とは 「 べき乗 」 のことである。

べき乗とは、例えば、b のことである。

この場合、冪指数は n である。

冪演算を 『 累乗(るいじょう)』 と呼ぶこともある。

また、冪級数を 『 整級数(せいきゅうすう)』 と呼ぶこともある。

参考 ( 斉次、同次 )

y’+P(x)y=Q(x) を 『 1階線形微分方程式 』 という。

とくに、Q(x)=0 ( 定数関数 ) の場合を 『 斉次(同次) 』 という。

斉次であるとは限らない場合を 『 非斉次 』 という。

この定義は微分方程式の基礎である。

斉次は 「 せいじ 」 と読む。( 「さい」ではないので注意 )

もしかしたら、

「 斉次とはどういう意味だろう? 」

・・・と疑問に思う人がいるかもしれない。

「 斉 」 は 「 等しい 」 という意味である。

つまり、「 斉次 」 は 「 次数が等しい 」 という意味である。

例えば、次の微分方程式は斉次である。

(*) y’’+y’+y=0 ( 次数は1 )

(*) y’’y’+y’’y+y’y=0 ( 次数は2 )

一方、次の微分方程式は斉次ではない。

(*) y’’+y’+y=3 ( 次数1と次数0が混在 )

(*) (y’’)+y’+y=0 ( 次数2と次数1が混在 )

ちなみに、非斉次(非同次)は 「 斉次ではなくてもよい 」 という意味である。

つまり、非斉次は、斉次の場合も含める。

ちなみに、化学の世界には 『 不斉合成反応 』 と呼ばれるものがある。

通常の化学反応では鏡像異性体が1:1で生成される。

しかし、その対称性が崩れる反応があり、それを不斉合成反応と呼ぶのである。

この場合、「 対等にはならない 」 のであるから、「 非 」 ではなくて 「 不 」 を用いるのであろう。

参考 ( ギリシャ文字 )

大学の数学ではギリシャ文字が登場することもよくある。

各記号の読み方を紹介しよう。

(*) α:アルファ

(*) β:ベータ

(*) γ:ガンマ ( 大文字:Γ )

(*) δ:デルタ ( 大文字:Δ )

(*) ε:イプシロン

(*) ζ:ゼータ

(*) η:エータ

(*) θ:シータ ( 大文字:Θ )

(*) ι:イオタ

(*) κ:カッパ

(*) λ:ラムダ ( 大文字:Λ )

(*) μ:ミュー

(*) ν:ニュー

(*) ξ:クサイ ( 大文字:Ξ )

(*) π:パイ ( 大文字:Π )

(*) ρ:ロー

(*) σ:シグマ ( 大文字: )

(*) τ:タウ

(*) φ:ファイ ( 大文字:Φ )

(*) χ:カイ

(*) ψ:プサイ ( 大文字:Ψ )

(*) ω:オメガ ( 大文字:Ω )

参考 ( ある 〜 が存在して、〜 となる )

大学の数学では、次のような言葉が用いられることがある。

(*1) ある自然数 n が存在して、n>3 となるようにできる。

これは少し不自然な日本語に聞こえるかもしれない。

自然な日本語に変換すると、

(*2) n>3 を満たす自然数 n が存在する。

このサイトでは(*1)の語順を用いる。

なぜなら、(*1)は英語の語順に合わせたもので、論理記号を順番通りに解釈できて便利だからである。

ただし、どちらの読み方もよく用いられる。

参考 ( 論理記号〜その1 )

大学の数学では、次のような言葉が用いられることがある。

(*) 任意の実数 x に対し、ある自然数 n が存在して、n>x となるようにできる。

これを次のように表すことがある。



これは 『 論理記号 』 と呼ばれるものである。

は実数全体を意味し、x∈ は x が実数全体に属することを意味する。

つまり、x は実数である。

は自然数全体を意味し、n∈ は n が自然数全体に属することを意味する。

つまり、n は自然数である。

『 : 』 または 『 s.t.〜 』 は 「 〜となるようにできる 」 という意味である。

∀ や ∃ は量化記号と呼ばれるもので、正式な数学の記号である。

∀ を 『 全称量化子 』 という。

∃ を 『 存在量化子 』 という。

∀ は 英語 Any の頭文字を引っくり返したことが由来である。

∃ は英語の Exist の頭文字を引っくり返したことが由来である。

s.t.は英語の 「 such that 」 を略したものである。

ただし、s.t.は一般的な記号ではない。

s.t.の代わりに 『 : 』 を用いている書物もある。

ただし、集合を表すときに { x∈X : 条件 } と書き表す書物もある。

この : と混同を避けるために、このサイトでは s.t. を用いている。

参考 ( 論理記号〜その2 )

上の説明では繰り返し 「 任意の 」 という言葉が登場した。

「 任意の 」 という言葉はあまり日常で登場しないので、抵抗を感じる人がいるかもしれない。

これは 「 すべての 」 という言葉とほとんど同じ意味である。

英語にすると、

任意の : for any

すべての : for all

「 任意の 」 という言葉は全体を指しているが、個々の対象に注目しているニュアンスがある。

「 すべての 」 という言葉は全体を指して、全体を見渡しているニュアンスがある。

どちらの言葉を用いてもよいが、「 任意の 」 が用いられることが多い。

数学では 「 一意に定まる 」 という言葉もよく用いられる。

これは 「 唯1つに定まる 」 という意味である。

どちらの表現を用いてもよい。

ただ、「 一意 」 と 「 任意 」 で対比できるので、私は 『 一意 』 と 『 任意 』 を好んで用いる。

参考 ( 論理記号〜その3 )

∃!という記号が用いられることもある。

∃!は 「 一意に存在する 」 という意味の論理記号である。

参考 ( 0 を自然数として採用することもある )

現在(2016年)のところ、高校数学では自然数とは 「 1、2、3、・・・ 」 であると指導される。

つまり、0 は自然数には含めない。

ただし、大学では 0 を自然数に含める立場もある。

参考 ( 微分と代入 )

よく知られているように、f(x) を微分してから x=a を代入したものは次のように表される。



実は、これを次のように表すこともある。

もしかしたら、

「 このような表記が必要なのだろうか? 」

・・・と疑問に思う人がいるかもしれない。

たしかに、シンプルな計算では必要ない。

しかし、複雑な計算では、上記のような表記を必要とする場面が出てくる。