分離公理(正規空間、正則空間、ハウスドルフ空間)

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定義 ( 分離公理 )

(X、)を位相空間とする。

を閉集合全体とする。

次の(1)〜(4)のいずれかが成り立つとする。



(1)が成り立つとき、X を 『 T空間 』 という。

(2)が成り立つとき、X を 『 T空間 』 という。

(3)が成り立つとき、X を 『 T空間 』 という。

(4)が成り立つとき、X を 『 T空間 』 という。

定義

空間を 『 ハウスドルフ空間 』 ということも多い。

空間と T空間が同時に成り立つとき、これを 『 正規空間 』 という。

空間と T空間が同時に成り立つとき、これを 『 正則空間 』 という。

参考

ちなみに、ハウスドルフ空間にある条件を追加すると、多様体というものになる。

ハウスドルフ空間は他でもとくに使用する機会が多い。

まずはハウスドルフ空間に注目するとよいだろう。

Z17 ( T と T に対する同値条件 )

(X、)を位相空間とする。

X が T空間であることは、次が成り立つことと同値である。



X が T空間であることは、次が成り立つことと同値である。

証明

明らかである。(※A1)

Z18 ( T空間に対する同値条件 )

(X、)を位相空間とする。

このとき、次の(1)、(2)は互いに同値である。

(1) X は T空間である。

(2) 任意の x∈X について、{x}は閉集合である。

証明

(1)を仮定する。

x∈X とおく。

y∈{x} とおく。

x≠y とする。(背理法)

このとき、



よって、{x}∩O=φである。

これは矛盾である。(※A11)

よって、{x}={x} である。

よって、{x} は閉集合である。(※A9)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

x≠y とする。

このとき、{y}は閉集合である。

よって、O=X−{y}は開集合である。

しかも、x∈O であり、y は O に属さない。

(1)⇒(2)の別証明

x∈X とおく。

y∈X−{x}とおく。

このとき、



よって、



よって、{x} は開集合である。(※開集合の公理)

よって、{x}は閉集合である。

Z19

次が成り立つ。

正規空間 ⇒ 正則空間 ⇒ ハウスドルフ空間 ⇒ T空間

証明

明らかである。(※Z18)

定義 ( 対角集合 )

直積空間 X×X の部分集合 Δ={(x、x) | x∈X } を 『 対角集合 』 という

Z20 ( T空間に対する同値条件 )

次の3つの条件は互いに同値である。

(1) X が T空間(ハウスドルフ空間)である。

(2) 任意の点 x∈X について、点 x の閉近傍全体の共通部分は{x}である。

(3) Δ は X×X の閉集合である。

(1)⇔(2)の証明

(1)を仮定する。

いま、



つまり、



よって、X−O は y が属さない x の閉近傍である。

よって、x の閉近傍全体の共通部分は{x}である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

x≠y とする。

このとき、x の閉近傍 F が存在して、y が属さないようにできる。

よって、ある開集合 O が存在して、x∈O⊂F となる。

また、X−F=O とおけば、O は開集合である。

このとき、



よって、X は T 空間(ハウスドルフ空間)である。

(1)⇔(3)の証明

(1)を仮定する。

(x、y)∈Δ とおく。

このとき、x≠y である。

よって、



このとき、(x、y)∈U×V⊂Δ である。

また、U×V は X×X の開集合である。(※Z11+α)

また、



よって、Δ は開集合である。(※開集合の公理)

よって、Δは閉集合である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(3)を仮定する。

x≠y とおく。

このとき、(x、y)∈Δ である。

また、Δ は X×X の開集合である。

よって、Z11+α、A16 より、



いま、x∈U かつ y∈V である。

また、U∩V=φである。

( もし、U と V が共通部分をもつとしたら、U×V⊂Δ に矛盾する )

よって、X は T空間である。

Z21 ( T空間に対する同値条件 )

(X、)を位相空間とする。

このとき、次の(1)〜(3)は同値である。

(1) X は T空間である。

(2) 次が成り立つ。



(3) 任意の点 x∈X に対し、x の閉近傍全体は x の基本近傍系である。

(1)⇔(2)の証明

(1)を仮定する。

x∈X とおく。

U を、x が属する開集合とする。

このとき、U は x が属さない閉集合である。

よって、仮定より、



このとき、O⊂O かつ O は閉集合である。

よって、



また、明らかに、



ここで、O=V とおく。

(*1)、(*2)より、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

x∈X とおく。

F を、x が属さない閉集合とする。

このとき、F は x が属する開集合である。

よって、仮定より、



⊂F より、F⊂( である。

以上により、



V=O 、(=O とおくと、

(2)⇔(3)の証明

(2)を仮定する。

U∈(x)とおく。

いま、ある O∈ が存在して、x∈O⊂U となる。

よって、仮定(2)より、



は x の閉近傍である。

しかも、⊂U である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(3)を仮定する。

x∈X とおく。

U∈ とおく。

x∈U とする。

いま、U∈(x)である。(※A1)

よって、仮定(3)より、x の閉近傍 F が存在して、x∈F⊂U となる。

F は x の閉近傍であるから、



しかも、V⊂=F である。(※A9)

以上により、

Z22 ( T空間に対する同値条件 )

(X、)を位相空間とする。

このとき、次の(1)と(2)は同値である。

(1) X が T空間である。

(2) 次が成り立つ。

証明

Z21において、x を F に置き換えて同様の議論を行えば証明できる。

Z23 ( T、T、正則性は部分空間に遺伝する )

(X、)を位相空間とする。

このとき、次の(1)〜(3)が成り立つ。

(1) X が T空間ならば、X の部分空間 A も T空間である。

(2) X が T空間ならば、X の部分空間 A も T空間である。

(3) X が正則ならば、X の部分空間 A も正則である。

( ちなみに、正規空間の部分空間が正規空間になるとは限らないことが知られている )

(1)の証明

x、y∈A とおく。

x≠y とする。

X は T空間であるから、



いま、O∩A は部分空間 A の開集合である。(※A24)

また、y は O∩A に属さない。

よって、A は T空間である。

(2)の証明

これの証明は(1)と同様である。

(3)の証明

X は正則であるから、X はハウスドルフ空間である。(※Z19)

よって、(2)より、X の部分空間はハウスドルフ空間である。

よって、X の部分空間は T空間である。(※Z19)

( 後は、A が T であることを示せばよい )

x∈A とおく。

F を部分空間 A の閉集合とし、x は F に属さないとする。

いま、X の閉集合 F’が存在して、F=A∩F’となる。(※A25)

また、x は F’に属さない。

X は T空間であるから、



このとき、



また、O∩A と O∩A は A の開集合である。

Z24 ( 直積空間における T、T の正則性と、各成分の T、T、正則性は同値 )

(X、)を、(Xλλλ∈J の直積空間とする。

このとき、次の(1)、(2)は同値である。

(1) X はT空間である。

(2) 任意の XλはT空間である。

また、次の(3)、(4)は同値である。

(3) X はT空間である。

(4) 任意の XλはT空間である。

また、次の(5)、(6)は同値である。

(5) X は正則である。

(6) 任意の Xλは正則である。

( ちなみに、正規空間の直積は、正規空間になるとは限らない )

(1)⇔(2)の証明

(1)を仮定する。

λ∈J とおく。

λと異なる任意のμ∈J に対し、元 xμ∈Xμを選択する。(※選択公理)

ここで、次のようにおく。



このとき、U⊂X である。

つまり、U は X の部分空間である。

よって、U はT空間である。(※Z23)

また、U と Xλは同相である。(※Z14+α)

よって、XλはT空間である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

(xλλ∈J、(yλλ∈J∈X とおく。

これらは異なる2点であるとする。

このとき、少なくとも、ある k∈J に対して、x≠y である。

よって、X において、



ここで、次のようにおく。



このとき、U は X の基底に属する。(※Z11)

つまり、U は X の開集合である。(※定義:基底)

また、(xλλ∈J は U に属する。

また、(yλλ∈J は U に属さない。

よって、X はT空間である。

(3)⇔(4)の証明

上の証明と同様。

(5)⇔(6)の証明

(5)⇒(6)は(1)⇒(2)などと同様。

(6)を仮定する。

このとき、(1)、(2)より、X はT空間である。

( 後は X が T であることを示せばよい )

x∈X とおく。

O を、x が属する X の開集合とする。

このとき、有限個のλ、・・・、λ と Xλk の開集合 O が存在して、次が成り立つ。(※Z11、A16)



いま、各 XλはT空間である。

よって、Xλk の開集合 U が存在して、x∈U⊂O となる。(※Z21)

ここで、次のようにおく。



このとき、x∈U⊂⊂O である。(※Z15)

よって、X はT空間である。(※Z15)