補足(直積空間)

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ここでの説明は大雑把で曖昧なものであるから、あくまで参考程度に参照してほしい。

途中までの内容は集合論で扱ったものと同じである。





(X、)を、((Xλλ))λ∈J の直積空間とする。

直積 X の元 x は、任意のλ∈J に対して x(λ)∈Xλ となるような写像である。

x(λ)を xλ と表すことも多い。

J={1,2,3,・・・}として、ここまでの内容を図に示すと、



実際、x(1)∈X,x(2)∈X ,・・・となっていることが分かるであろう。

上図は 『 1つの写像 x 』 を表している。

矢印が複数描かれているけれども、これらが1セットで1つの写像である。

当然、このような x∈X は他にも無数に存在する。これを図示すると、



( 矢印は煩わしいので、ただの線にした )

さて、話を戻そう。再び、1つの写像 x∈X に注目する。



この x について、x(λ)∈Xλ を 『 x のλ座標 』 と呼ぶ。

さらに、x に x(λ) を対応させる写像を射影 pλ という。

つまり、pλ:X→Xλ である。



名称通り、写像 x の影のような存在である x(λ) を pλ で射る形になっている。

今度は視点を変えて、1つの a∈X に注目してみよう。



このとき、a を座標としてもつ写像 x は1つとは限らず、ふつう複数存在する。



これは逆像 p−1({a}) を意味する。

つまり、p−1({a}) は a を座標としてもつような写像 x 全体である。

同じように、ある Xλ の開集合 Oλ に対して、pλ−1(Oλ) は次のように表される。



いま、X に対して、直積位相 が入っている。

直積位相 の定義は少し複雑である。

しかし、Z8+α によれば、次の形で表される集合全体は直積位相の基底になる。



さて、これはどのような集合であろうか?

Z10 より、



例えば、λ=1、λ=2、n=2 とすると、



これを図示すると、



このように、x 全体の中から有限個の pλ−1(Oλ) の共通部分をとっているのである。

そして、このような集合全体が位相 の基底になると、Z8+αは主張しているのである。

重要な問題

ここで重要な問題を考えてみよう。

いま、J が無限集合であることに注意する。

任意のλ∈J に対して、ある開集合 Oλλ を考える。

そして、次のようにおく。



これを図示すると、



さて、この集合 O は X の開集合であろうか?

実は、この O は X の開集合ではない。

なぜなら、(*1)で示したように、X の基底は 『 有限個 』 の pλ−1(Oλ) の共通部分しかとらないからである。

(*1)のような形の集合の和集合をどんなにとっても、O のようにはならない。

λ からはみ出した写像 x が残ってしまうからである。

つまり、基底の和集合で O を表すことができない。

よって、O は開集合ではない。

ただし、上記の内容は無限個の位相空間から構成される直積位相に関するものである。

有限個の場合には、(*2)のような形の集合も開集合となる。(※Z11+α)