連結成分

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定義 ( 連結成分 )

(X、)を位相空間とする。

点 x が属する X の連結部分集合全体の和集合を C(x)と表す。

このとき、C(x)は x が属する最大の連結集合である。(※A32)

C(x)を 『 x の連結成分 』 という。

Z25

(X、)を位相空間とする。

次の(1)、(2)が成り立つ。

(1) C(x)は閉集合である。

(2) C(x)∩C(y)≠φ ⇔ C(x)=C(y)

(1)の証明

いま、C(x)は連結である。

よって、C(x) は連結である。(※Z24)

よって、C(x)=C(x) である。(※定義:連結成分)

よって、C(x)は閉集合である。

(2)の証明

C(x)∩C(y)≠φと仮定する。

いま、C(x)∪C(y)は連結である。(※A32)

よって、C(x)=C(x)∪C(y)、C(y)=C(x)∪C(y)である。(※定義:連結成分)

よって、C(x)=C(y)である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

C(x)=C(y)と仮定する。

明らかに、C(x)∩C(y)≠φである。

Z26

(X、)を位相空間とする。

2点 x、y∈X が同時に属する連結集合が存在するとき、x〜y と表す。

このとき、2項関係 〜 は、集合 X における1つの同値関係である。

証明

明らかに、1点集合{x}は連結である。

よって、x〜x である。

x〜y ⇒ y〜x は明らかである。

x〜y かつ y〜z と仮定する。

を x、y が属する連結部分集合をとする。

を y、z が属する連結部分集合をとする。

いま、y∈M∩M である。

よって、M∪M は連結である。(※A32)

また、x、z∈M∪M である。

よって、x〜z である。

Z27

(X、)を位相空間とする。

a∈X とする。

C(a)を a の連結成分とする。

をA58の意味での a の同値類とする。

このとき、C(a)=C である。

証明

明らかである。

Z28

(X、)を位相空間とする。

このとき、次の(1)、(2)は同値である。

(1) X は連結である。

(2) 任意の x、y∈X に対し、Z26 の意味で x〜y が成り立つ。

証明

明らかである。

Z29 ( 連結性は直積空間に遺伝する )

(X、)を、((Xλ))λ∈J の直積空間とする。

このとき、次の(1)、(2)は同値である。

(1) X は連結である。

(2) 任意のλ∈J に対し、Xλは連結である。

証明

(1)を仮定する。

射影 pλ:X→Xλは連続である。(※Z8+α)

各pλは全射であるから、pλ(X)=Xλである。(※定義:射影)

よって、Xλも連結である。(※A31)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

( 手順1 )

まず、J が有限集合の場合を考える。

J={1、2}の場合を考えれば十分である。

X=X×X とする。

x=(x、x)、y=(y、y)∈X とおく。

さらに、次のようにおく。



{x}×X と X は同相である。(※Z14)

よって、{x}×X は連結である。(※A31)

同様に、X×{y}も連結である。

{x}×X と X×{y}には (x、y)が属する。

よって、A は連結である。(※A32)

しかも、x∈A かつ y∈A である。

よって、任意の x、y∈X に対して(Z26の意味で)x〜y が成り立つ。

よって、X=X×X は連結である。(※Z28)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

( 手順2 )

次に J が無限集合の場合を考える。

a∈X とおく。

M(a)を、x(λ)≠a(λ)となるλ∈J が有限個のみである点 x∈X 全体とする。

λ、・・・、λ∈J とおく。

次のようにおく。



つまり、



いま、(Xλ1λ1)、・・・、(Xλnλn)の直積空間と M(a、λ、・・・、λ)は同相である。(※Z14)

(手順1)の結果により、 (Xλ1λ1)、・・・、(Xλnλn)の直積空間は連結である。

よって、M(a;λ 、・・・、λ)も連結である。(※A31)

また、M(a)は M(a;λ 、・・・、λ)全体の和集合である。

しかも、任意の M(a;λ、・・・、λ)は点 a を共有するから、M(a)も連結である。(※A32)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

( 手順3 )

b∈X とおく。

射影 pλ:X→Xλ を考える。

『 点 b(λ)∈Xλk の近傍 Uλk 』 によって、次の形で表される集合を考える。



(*)の形で表される集合全体は、点 b∈X の基本近傍系である。(※Z9)

ここで、次を満たすような c∈X をとる。



このとき、



つまり、『λ 、・・・、λ∈J 』 と 『 点 b(λ)∈Xλk の近傍 Uλk 』 をどのように選んでも次が成り立つ。



つまり、『 M(a)』 と 『 点 b∈X の近傍 』 はつねに共通部分をもつ。

よって、b∈M(a) である。(※A11)

点 b は X の任意の点としてよいから、X=M(a) である。

よって、X は連結である。(※A35)

参考

Z29により、連結性は直積空間に遺伝することが分かった。

一方、一般には部分空間に連結性は遺伝しないことが知られている。