直積空間1(誘導位相からの構成)

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定義 ( ひきもどし )

X を集合とする。

(Y、)を位相空間とする。

f:X→Y を写像とする。

次のように定義する。



このとき、f を 『 f による のひきもどし 』 という。

Z7 ( ひきもどしの性質 )

X を集合とする。

(X)を位相空間とする。

f:X→X を写像とする。

を、f による のひきもどしとする。

このとき、次の(1)〜(3)が成り立つ。

(1) f は X の位相である。

(2) f は(X、f)から(X) への連続写像である。

(3) f は、f が連続写像となるような X の位相の中で最も粗い。

(1)の証明

で、f−1(X)=X であるから、X∈ f である。

φ∈ で、f−1(φ)=φであるから、φ∈ f である。

よって、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

、O∈ f とおく。

いま、



集合論:B7より、



また、O∩O’∈ である。(※開集合の公理)

よって、f−1(O∩O’)∈ fである。

よって、O∩O∈ fである。

以上により、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

同様に、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(*1)〜(*3)より、 f は位相である。

(2)の証明

とする。

明らかに、f−1(O)は(X、f)の開集合である。

よって、f は(X、f)から(X)への連続写像である。(※A20)

(3)の証明

X に位相 を導入して、f を(X、)から(X)への連続写像となるようにできたとする。

いま、任意の O に対して、f−1(O)∈ である。(※A20)

つまり、f の任意の元は に属する。

よって、f である。

定義 ( 誘導位相 )

X を集合とする。

((Xλλ))λ∈J を位相空間の族とする。

λ:X→Xλ を写像とする。

ここで、次のような X の位相を考える。(※Z3、Z7)



これを 『(fλλ∈J による誘導位相 』 という。

Z8

X を集合とする。

((Xλλ))λ∈J を位相空間の族とする。

λ:X→Xλ を写像とする。

を(fλλ∈J による誘導位相とする。

このとき、次の(1)〜(4)が成り立つ。

(1) 任意の fλは(X、)から(Xλλ)への連続写像である。

(2)  は任意の fλが連続写像となるような X の位相の中で最も粗い。

(3)  の基底 として次を採用できる。



(4) 次の形で表される集合全体を の基底として採用できる。



( ただし、λ、・・・、λ は J の相異なる元であるとする )

( また、n は定まった値ではなく、任意の有限値をとるとする )

(1)の証明

定義より、



つまり、任意のλ∈J に対し、fλλ である。

また、任意の fλは(X、fλ)から(Xλλ)への連続写像である。(※Z7)

よって、任意の fλは(X、)から(Xλλ)への連続写像である。

(2)の証明

X に位相 を導入することで、任意の fλが(X、)から(Xλλ)への連続写像となるようにできたとする。

いま、任意のλ∈J に対し、fλλ である。(※Z7)

そのような位相 の中で最も粗いものは、sup{fλλ|λ∈J}= である。(※定義:上限)

(3)の証明

明らかである。(※Z4)

(4)の証明

(3)の言い換えにすぎない。

定義 ( 直積位相 )

((Xλλ))λ∈J を位相空間の族とする。

次のようにおく。



λ:X→Xλ を射影とする。

このとき、(pλλ∈J による X の誘導位相を 『 X の直積位相 』 という。

X が直積位相 をもつとき、(X、) を 『 直積空間 』 という。

定義(誘導位相)における X と fλを次のように置き換えたものとして考えればよい。

Z8+α ( 直積位相の性質 )

(X、)を、((Xλλ))λ∈J の直積空間とする。

λ:X→Xλ を射影とする。

このとき、次の(1)〜(4)が成り立つ。

(1) 任意の pλは(X、)から(Xλλ)への連続写像である。

(2)  は任意の pλが連続写像となるような X の位相の中で最も粗い。

(3)  の基底 として次を採用できる。



(4) 次の形で表される集合全体を の基底として採用できる。



( ただし、λ、・・・、λ は J の相異なる元であるとする )

( また、n は定まった値ではなく、任意の有限値をとるとする )

証明

(1)〜(4)はいずれも明らかである。(※Z8、定義:直積位相)

Z9 ( 直積位相の基本近傍系 )

(X、)を、((Xλλ))λ∈J の直積空間とする。

x∈X とおく。

このとき、次の形で表される集合全体は x の基本近傍系である。



( ただし、λ、・・・、λ は J の相異なる元であるとする )

( また、n は定まった値ではなく、任意の有限値をとるとする )

証明

いま、



このとき、



また、Z8+α、定義(基底)より、



よって、(*)はすべての x の近傍である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

U を x∈X の近傍とする。

このとき、ある開集合 O⊂X が存在して、x∈O⊂U となる。

また、Z8+α(4)の形の基底 B が存在して、x∈B⊂O となる。(※A16)

しかも、B は(*)の形をしている。

よって、(*)全体は x の基本近傍系である。

Z10

(X、)を、((Xλλ))λ∈J の直積空間とする。

λ:X→Xλ を射影とする。

このとき、次が成り立つ。



( ただし、λ、・・・、λ は J の相異なる元とする。)

(1)と(2)の証明

明らかである。(※定義:射影)

Z11

(X、)を、((Xλλ))λ∈J の直積空間とする。

λλの基底とする。

次の形で表される集合全体を の基底として採用できる。



( ただし、λ、・・・、λは J における相異なる元とする )

( また、n は定まった値ではなく、任意の有限値をとるものとする )

証明

明らかである。(※Z8+α(4)、Z10(2))

Z11+α

(X×・・・×X)を、(X)、・・・、(X)の直積空間とする。

次の集合を の基底として採用できる。



( このとき、n は固定された値であることに注意する )

証明

Z11において、J={1、・・・、n}とすればよい。

参考

色々と書いたので混乱している人もいるかもしれない。

もし難しく感じるのであれば、とりあえず、Z11、Z11+αに注目すればよい。

直積位相は少し複雑で全容が掴みにくい。

しかし、Z11、Z11+αから分かるように、直積位相の基底はシンプルな形をしている。

直積位相の全容を無理に掴む必要はなくて、直積位相の基底さえ把握していれば十分である。

参考

ここまでの内容をまとめてみよう。

まず、前のページでも述べたように、写像 f:X→X を考えたとき、X に位相 f を入れることができた。



さらに、このページでは fλ、fλ、fλ、・・・を考え、

位相 fλ、fλ、fλ、・・・を全て X に入れたのである。



さらに、そこから生成される位相を誘導位相と呼んだのである。

また、全ての fλ は連続になり、基底も分かった。(※Z11)

上記の内容は一般の集合 X と一般の写像 fλについて示されたことである。

そこで、X として Πλ∈Jλ を考え、fλ として pλ を考えることができる。

この場合の誘導位相を直積位相と呼んだのである。

こうして、直積位相が構成された。

参考

位相空間論の書物は次の2種類に分けられる。

(1) 有限個の位相空間から構成される直積空間について扱う。

(2) 無限個の位相空間から構成される直積空間について扱う。

このサイトでは(2)について扱っているので少し難しい内容である。

ちなみに、後で登場する分離公理やコンパクト性の方が簡単である。