直積空間2(直積空間の定理)

サイトのTOP→理系インデックス
位相空間論のTOP→位相空間論インデックス





Z12 ( 射影は開写像 )

(X、)を、((Xλλ))λ∈J の直積空間とする。

このとき、射影 pλ:X→Xλは開写像である。

証明

O∈ とおく。

いま、次が成り立つ。(※Z11、A16)



また、



また、



しかも、pμ(x) は pμ(O) の任意の点である。

よって、pμ(O)∈μである。

以上により、O∈ ⇒ pμ(O)∈μである。

つまり、pμは開写像である。

Z13

(X、)を、((Xλλ))λ∈J の直積空間とする。

(Y、)を位相空間とする。

f:Y→X を写像とする。

このとき、次の(1)(2)は同値である。

(1) f は連続写像である。

(2) 任意の射影 pλ:X→Xλに対して、fλ=pλ*f が連続写像である。

証明

(1)を仮定する。

いま、f は連続写像である。

また、任意の射影 pλは連続写像である。(※Z8+α)

よって、pλ*f は連続写像である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

を Z8+αの意味での の基底とする。

任意の B∈ は次の形で表される。(※Z8+α)



いま、



よって、f−1(B)∈ である。(※A20)(★)

ここで、O∈ とおく。

の基底であるから、



よって、(★)、開集合の公理より、



以上により、O∈⇒ f−1(O)∈ である。

よって、f は連続写像である。(※A20)

注意

以下、位相空間 X と Y が同相であることを次の記号で表す。

Z14

(X)、(X)を位相空間とする。

∈X とおく。

このとき、次が成り立つ。

証明 ( この定理は明らかだが、詳細な証明を付けておく )

を {x}×X の直積位相とする。

写像 f を次のように定義する。



明らかに、f は全単射である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

とおく。

いま、f−1(O)={x}×O である。

しかも、{x}×O である。(※Z11+α)

よって、f は連続である。(※A20)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

O∈ とおく。

このとき、ある O が存在して、O={x}×O となる。

いま、f−1による逆像(f−1−1({x}×O)=O の開集合である。

よって、f−1 は連続である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

以上により、f は同相写像である。

Z14+α

((Xλλ))λ∈J を位相空間の族とする。

K⊂J とする。

任意のλ∈K に対して、Xλの1つの元 xλ’を定める。

このとき、次が成り立つ。

証明

写像 f を次のように定義する。



ただし、xは次の条件を満たすとする。



次のようにおく。



いま、f:X’→X’’である。

また、次の形の集合全体は X’’の基底である。(※Z11)



( ただし、L は J−K の有限部分集合である )

( K は固定された集合であるが、L は固定されていないことに注意せよ )

いま、



これは X’の基底に属する。(※Z11)

よって、f は連続写像である。(※Z14の証明と同じ考え方)

同様に、f の逆写像は連続である。

( 明らかに、f は全単射である )

よって、f は同相写像である。

Z15

(X、)を、((Xλλ))λ∈J の直積空間とする。

λ を Xλ の部分空間とする。

A を、(Aλλ∈J の直積空間とする。

つまり、



このとき、次が成り立つ。



ただし、(1)の J は無限集合であり、(2)の J は有限集合であるとする。

( ※ 実は、(2)の関係は無限集合では成り立たない )

(1)の解答

(x)を x∈X の近傍系とする。

(x)を x∈X の基本近傍系とする。

λ(xλ)を xλ∈Xλ の近傍系とする。

λ は x のλ座標を意味する。

つまり、xλ=x(λ)である。( x が写像であることを忘れないように注意 )

このとき、次の(*1)〜(*6)は同値である。(※Z9、A11)

(2)の解答

次の(*1)〜(*5)は同値である。(※Z11+α、A6)



( この証明は J が有限集合の場合のみにしか行えないことに注意 )

参考

J が無限集合の場合で、Z15(2)の関係が成り立たない例を紹介する。

任意のλ∈J に対して、Oλλかつ Oλ≠Xλ とする。

次のようにおく。



このとき、O は X の開集合ではない。

( 実際、Z11の基底を用いて O を表すことはできない )

よって、O≠O である。

一方、Oλ =Oλであるから、

Z16

位相空間 X、X’、Y、Y’について次のような写像 f、f’を考える。



さらに、次のような写像 f×f’を定義する。



f と f’は連続写像であるとする。

このとき、f×f’は連続写像である。

証明

f×f’=F とおく。

V、V’を Y、Y’の開集合とする。

集合論:B5より、



つまり、



仮定より、f と f’は連続写像であるから、f−1(V)、(f’)−1(V’)は X、X’の開集合である。

よって、F−1(V×V’)は X×X’の開集合である。(※Z11+α)(★)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

U を Y×Y’の開集合とする。

このとき、U は開集合 V×V’⊂Y×Y’の和集合としての表される。

( ただし、V は Y の開集合、V’はY’の開集合であるとする )

よって、(★)より、F−1(U)は X×X’の開集合である。(※開集合の公理)

よって、F:X×X’→Y×Y’は連続写像である。(※A20)