順序集合、上限、下限

サイトのTOP→理系インデックス
位相空間論のTOP→位相空間論インデックス





定義 ( 順序集合 )

X を集合とする。

〜 を X における2項関係とする。

次の(1)〜(3)が成り立つとする。



(1)を反射律、(2)を反対称律、(3)を推移律という。

(1)〜(3)をまとめて 『 順序の公理 』 という。

このとき、関係 〜 を 『 順序関係 』 といい、X を 『 順序集合 』 という。

関係 〜 が順序関係であるとき、〜 を 『≦』 と表す。

とくに、≦ が定義された順序集合 X を(X、≦)と表す。

定義 ( 全順序集合 )

(X、≦)を順序集合とする。

任意の a、b∈X に対し、a≦b または b≦a がつねに成り立つとする。

このとき、X を 『 全順序集合 』 という。

における通常の意味での大小関係≦は(1)〜(3)を満たす。

よって、(、≦)は順序集合である。

しかも、全順序である。

a、b∈ とする。

b が a によって割り切られることを a≦b と表すことにする。

( このような関係を 『 整除関係 』 という。整数論などに登場する )

この整除関係 ≦ は(1)〜(3)を満たす。

よって、(、≦)は順序集合である。

しかし、全順序ではない。

を集合系とする。

に属する集合に対して、包含関係 ⊂ は(1)〜(3)を満たす。

よって、(、⊂)は順序集合である。

しかし、全順序とは限らない。

定義 ( 最大元、最小元 )

(X、≦)を順序集合とする。

A を X の部分集合とする。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

ある a∈A が存在して、任意の x∈A に対し、x≦a であるとする。

このような a を 『 A の最大元 』 といい、『 maxA 』 と表す。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

ある a∈A が存在して、任意の x∈A に対し、a≦x であるとする。

このような a を 『 A の最小元 』 といい、『 minA 』 と表す。

例えば、A={ x∈ | 3≦x≦7 } について maxA=7、minA=3 である。

定義 ( 上界、下界 )

(X、≦)を順序集合とする。

A を X の部分集合とする。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

ある a∈X が存在して、任意の x∈A に対し、x≦a となるとする。

このとき、a を 『 A の上界 』 という。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

ある a∈X が存在して、任意の x∈A に対し、a≦x となるとする。

このとき、a を 『 A の下界 』 という。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

A の上界全体を U(A)と表す。

A の下界全体を L(A)と表す。

A が上界をもつとき、「 A は上に有界である 」 という。

A が下界をもつとき、「 A は下に有界である 」 という。

A が上下に有界であるとき、単に 「 A は有界である 」 という。

「 上界 」 を 「 じょうかい 」 と読み、「 下界 」 を 「 かかい 」 と読む。

定義 ( 上限、下限 )

(A、≦)を順序集合とする。

U(A)の最小元を 『 A の上限 』 といい、supA と表す。

L(A)の最大元を 『 A の下限 』 といい、infA と表す。