位相の生成、準基底

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Z1 ( 位相全体は共通部分について閉じている )

を集合 X の位相全体とする。

λ|λ∈J}を の部分集合とする。

( つまり、各 λ は位相である )

ここで、次のようにおく。



このとき、 も X の位相である。( つまり、 である )

補足

つまり、位相全体は共通部分について閉じている。

証明

任意のλ∈J に対し、φ、X∈λである。

よって、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

、O とおく。

いま、任意のλ∈J に対し、O、Oλである。

よって、任意のλ∈J に対し、O∩Oλである。(※開集合の公理)

よって、O∩O である。

以上により、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

同様に、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(*1)〜(*3)より、 は位相である。(※開集合の公理)

Z2

を集合 X の位相全体とする。

明らかに、 は位相の包含関係について順序集合である。

λ|λ∈J}を の部分集合とする。

このとき、{λ|λ∈J}は において下限をもつ。

これは次のように表される。

証明

次のようにおく。



いま、 である。(※Z1)

明らかに、任意のλ∈J に対し、λ である。

つまり、 は 『 任意の λよりも粗い位相 』 である。

また、 は 『 任意の λよりも粗い位相 』 の中では最も細かい位相である。(★)

つまり、 は順序集合 における{λ|λ∈J}の下限である。

(★)について補足 ( これは本質的には簡単なことである )

よりも真に細かい位相 が存在すると仮定する。(背理法)

このとき、明らかに、ある λに対して、λが成り立たない。

よって、 は 『 任意の λよりも粗い位相 』 ではない。

よって、 は 『 任意の λよりも粗い位相 』 の中では最も細かい位相である。

定義 ( 生成 )

X を空でない集合とする。

を X の部分集合系とする。( つまり、 は X の冪集合 2 の部分集合である )

を含む位相全体の共通部分を と表す。

( つまり、 の任意の元が開集合となるような位相全体の共通部分を と表す )

このとき、 は位相である。(※Z1)

を 『 によって生成される位相 』 という。

補足

を含む位相全体の下限である。(※Z2)

自身が位相であるとき、明らかに である。

離散位相 2 が存在するので、 は必ず存在する。

Z3

を集合 X の位相全体とする。

明らかに、 は位相の包含関係について順序集合である。

λ|λ∈J}を の部分集合とする。

このとき、{λ|λ∈J}は において上限をもつ。

これは次のように表される。

証明

明らかに、任意のλ∈J に対し、λである。

つまり、 は 『 任意の λよりも細かい位相 』 である。(※定義:生成)

また、 は 『 任意の λよりも細かい位相 』 の中で最も粗い位相である。(★)

つまり、 は{λ|λ∈J}の上限である。

(★)について補足 ( これは本質的には簡単なことである )

よりも真に粗い位相 が存在すると仮定する。(背理法)

このとき、明らかに、 は∪λ∈Jλを含まない。

よって、あるλ∈J に対して、λ が成り立たない。

よって、 は 『 任意の λよりも細かい位相 』 ではない。

よって、 は 『 任意の λよりも細かい位相 』 の中で最も粗い位相である。

参考

Z2、Z3 はセットにして把握しておくと、頭の中で整理しやすいであろう。

定義 ( U、U

X を集合とする。

を X の部分集合系とする。

次のように定義する。



について、『 is finite 』 は が有限集合であることを意味している。

補足

ところで、=φの場合、次のように考えてよい。



とくに、前者の式が成り立つことを確認するために、共通部分の定義を改めてここに書く。



これを書き換えると、



いま、=φであるから、G∈⇒x∈G はつねに真である。(※集合論)

よって、(*)が成り立つ。

Z4

を X の部分集合系とする。

このとき、次の(1)〜(4)が成り立つ。

(1) ⊂(⊂(

(2) (は X の位相である。

(3)  =(

(4)  の1つの基底である。

(1)の証明

明らかに、である。

の1個の元からなる部分集合を考えればよい )

同様に、 である。

よって、⊂(である。

以上により、⊂(である。

(2)の証明

明らかに、φ⊂である。

よって、X∈である。(※定義()とその補足)

よって、X∈( である。

また、明らかに、φ⊂である。

よって、φ∈(である。(※定義()とその補足)

以上により、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

、O∈(とおく。

の定義より、



よって、



であるから、G、Gである。

よって、G∩Gである。

よって、O∩O∈(である。

以上により、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

の定義より、明らかに、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(*1)〜(*3)より、(は X の位相である。(※開集合の公理)

(3)の証明

を、 を含む位相とする。

いま、 である。(※開集合の公理)

また、( である。(※開集合の公理)

つまり、(は 『 任意の を含む位相 )よりも粗い位相 』 である。

また、(は 『 任意の を含む位相 )よりも粗い位相 』 の中で最も細かい位相である。(★)

つまり、( を含む位相全体の下限である。

よって、=(である。(※定義(生成)の補足)

(★)について補足(これは本質的に簡単なことである)

よりも真に細かい位相 が存在すると仮定する。(背理法)

しかし、(1)より、(自身も 『 を含む位相 』 である。

よって、 は 『 任意の を含む位相 )よりも粗い位相 』 ではない。

よって、(は 『 任意の を含む位相 ) よりも粗い位相 』 の中で最も細かい位相である。

(4)の証明

定義より、明らかに は(の基底である。

また、(3)より、=(である。

よって、 の基底である。

参考 ( ここまでのまとめ )

を X の部分集合系とする。

手順 によって新しく位相 を生成できる。(※定義:生成)

手順 →(によって新しく位相(を生成できる。(※Z4)

しかも、=(である。(※Z4)

つまり、X の部分集合 から上記2種類の手順で機械的に新しく位相を生成できる。

定義 ( 準基底 )

(X、)を位相空間とする。

ある に対し、 であるとする。

このとき、 を 『 の準基底 』 という。

Z5 ( 準基底に対する同値条件 )

(X、)を位相空間とする。

の部分集合とする。

このとき、次の(1)〜(4)は互いに同値である。

(1)  の準基底である。

(2)  が成り立つ。

(3)  に属する有限個の開集合の共通部分全体が の基底になる。

(4) 次が成り立つ。

(1)⇔(2)

定義そのままである。

(2)⇔(3)

明らかである。(※Z4)

(3)⇔(4)

明らかである。(※A16)

Z6 ( 基底は準基底である )

(X、)を位相空間とする。

の基底とする。

このとき、 である。

つまり、基底は準基底である。

証明

明らかである。(※定義:基底、定義:位相の生成)

別証明

の基底であるから、次が成り立つ。(※A16)



よって、 は Z5(4) の条件を満たす。

よって、 である。(※Z5(2))

注意

この辺りの内容は少し難しいかもしれない。

もし難しく感じるのであれば、とりあえずは次のことを頭に留めておくだけでよい。

(*1) 定義(位相の生成)

(*2)  の基底である。(※Z4)