位相空間論インデックス

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位相空間論(距離空間論)は本格的な解析学に入るための扉である。

しかし、位相空間論と距離空間論を混同し、混乱する学生は多いようである。

そこで、第1章では純粋に位相空間を扱い、第2章では純粋に距離空間を扱う。

位相空間と距離空間の両方の知識を必要とする内容については第3章にまとめた。

よって、第1章、第2章どちらからでも自由に読み進めることができる。




第0章(S) 参考(位相空間論を始める前に)

□ 位相空間論に必要な集合論の定理
□ 微分積分学と位相空間論
□ 部分集合系と部分集合族

第1章(A) 位相空間

□ 開集合の公理、位相、近傍系
□ 閉集合の公理、集積点、孤立点

□ 粗い、細かい、基底
□ 基本近傍系、可算公理、稠密

□ 連続写像(開集合の逆像は開集合)
□ 同相写像、開写像、閉写像
□ 部分空間、相対位相

□ ハウスドルフ空間

□ コンパクト性(コンパクト性は連続写像の像に遺伝する)
□ コンパクト性(ハウスドルフ空間は限定的にT3空間を演じる)

第2章(B) 距離空間

□ 距離の公理
□ 開球、内部、外部、境界、閉包、集積点

□ 開集合、閉集合(距離空間)
□ 内部、閉包の性質(距離空間)

□ 点列の収束性
□ 連続写像(距離空間ver)

□ 部分距離空間、直積距離空間
□ 直径、集合間の距離

□ 一様連続性、一様収束、コーシー列、部分列
□ 点列コンパクト(最大値・最小値の定理)

□ 全有界
□ 完備距離空間

第3章(P) 距離と位相

※ この章はどのページからでも読むことができる。

□ 「距離空間上の連続写像」と「位相空間上の連続写像」は同値

□ 有限直積空間(+直積位相を直観的に理解する)

□ 凸集合⇒弧状連結⇒連結

□ 直線の連続性

□ コンパクト集合上で、連続写像⇒一様連続

□ 距離空間において、コンパクト⇔点列コンパクト

□ まとめ (位相空間の分類)

第*章(Z) 無限直積空間

□ 順序集合、上限、下限
□ 位相の生成、準基底
□ 直積空間1(誘導位相からの構成)
※ 補足(直積空間)
□ 直積空間2(直積空間の定理)

□ 分離公理(正規空間、正則空間、ハウスドルフ空間)
□ 連結成分