巾零と安定による直和分解

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Z17 ( 巾零と安定による直和分解〜その1 )

φ:V→V を線形変換とする。

を、φの巾零部分空間とする。

を、φの安定部分空間とする。

このとき、V=W□V である。

証明

v∈W∩V とおく。

いま、v∈W である。

よって、φ(v)=0 である。

いま、φ:V→VN+1=V は同型である。(※Z14)

よって、v=0 である。

つまり、W∩V={0}である。

よって、W+V=W□V である。(※Z6)

一方、dimW+dimV=dimKerφ+dimImφ=dimV である。(※次元定理)

よって、dim(W□V)=dimV である。(※Z6)

よって、W□V=V である。

Z18 ( 巾零と安定による直和分解〜その2 )

φ:V→V を線形変換とする。

W(λ)を一般固有空間とする。

を φ−λI の安定部分空間とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) V=W(λ)□V

(2) W(λ)と V は、それぞれ φ 不変である。

(3) Fφ(x)=FW(λ)(x)・F(x)

補足

φ(x)は、φの固有多項式を意味する。

W(λ)(x)は、φ|W(λ):W(λ)→W(λ) の固有多項式を意味する。

(x)は、φ|:V→V の固有多項式を意味する。

補足

とくに、(2)によって次を定義できる。

(*1) φ|W(λ):W(λ)→W(λ)

(*2) φ|:V→V

これにより、次を定義できる。

(*3) φ|W(λ)□φ|:W(λ)□V→W(λ)□V

(1)の証明

いま、W(λ)は φ−λI の巾零部分空間である。

また、V は φ−λI の安定部分空間である。

よって、V=W(λ)□V である。(※Z17)

(2)の証明

明らかに、W(λ)は φ 不変である。(※Z16)

また、φ(V)=φ((φ−λI)V)=(φ−λI)φ(V)⊂(φ−λI)V=V である。

よって、V は φ 不変である。

(3)の証明

明らかである。(※Z12)