巾零による直和分解

サイトのTOP→理系インデックス
線形代数のTOP→線形代数インデックス





参考

このページは一見すると長く、複雑に視えるかもしれない。

しかし、これは途中過程を詳しく書いただけであって、内容はシンプルである。

Z19

φ:V→V を線形変換とする。

λを φ の固有値とする。

W(λ)をλに伴う一般固有空間とする。

いま、φ|W(λ):W(λ)→W(λ)を定義できる。(※Z18)

このとき、φ|W(λ)の固有多項式は(x−λ)dimW(λ)である。

補足

つまり、λの重複度は W(λ)の次元に等しい。

また、φ|W(λ) の固有値はλのみである。

証明

まず、V が 上のベクトル空間の場合を考える。

m=dimW(λ)とおく。

A を φ|W(λ) の表現行列とする。

( むろん、A の成分は実数である )

(x)を A の固有多項式とする。

よく知られているように、複素数の範囲で多項式は1次式に分解できる。(※代数学の基本定理)

そこで、F(x)=(x−λ)・・・(x−λ)とおく。

( むろん、λ、・・・、λ は複素数の範囲である )

( むろん、λ、・・・、λ は重複している可能性がある )

A: を線形変換と見なす。

( ただし、A の成分は実数であることに注意 )

いま、λ、・・・、λ は、A の固有値である。

よって、ある v が存在して、Av=λ と表せる。

いま、仮定より、(A−λI)=O である。

よって、(A−λI)(v)=0 である。

よって、(λ−λ)=0 である。

よって、λ=λである。

( 結局、λ は実数であることが分かった )

以上の証明は、V が 上のベクトル空間の場合にも適用できる。

Z20

φ:V→V を線形変換とする。

λを φ の固有値とする。

W(λ)をλに伴う一般固有空間とする。

m を、φ の固有多項式に関するλの重複度とする。

このとき、dimW(λ)=m である。

証明

を φ−λI:V→V の安定部分空間とする。

いま、次が成り立つ。(※Z18、Z19)

(*1) V=W(λ)□V

(*2) φ|W(λ):W(λ)→W(λ)を定義できる。

(*3) φ|:V→V を定義できる。

(*4) φの固有多項式は、φ|W(λ)の固有多項式と φ| の固有多項式の積である。

(*5) φ|W(λ)の固有値λの重複度は、W(λ)の次元に等しい。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

後は、φ| がλを固有値としてもたないことを示せばよい。

φ| がλを固有値としてもつとする。(背理法)

いま、ある v∈V が存在して、φ(v)=λv となる。

よって、v∈W(λ)である。(※Z16(3))

むろん、v≠0 である。(※定義:固有空間)

よって、W(λ)∩V≠{0}である。

これは(*1)に矛盾する。(※Z9)

Z21

φ:V→V を線形変換とする。

λ、・・・、λ を φ の相異なる固有値全体とする。

φ(x)=(x−λ・・・(x−λ と表せるとする。(★)

このとき、次が成り立つ。

(1) V=W(λ)□・・・□W(λ

(2) W(λ) は φ 不変である。(i=1、・・・、r)

(3) φ|W(λ の固有多項式は(x−λ である。(i=1、・・・、r)

補足

φ は φ の固有多項式を意味する。

V が 上のベクトル空間の場合、条件(★)は外してよい。

なぜなら、 上では必ず因数分解できるからである。(※代数学の基本定理)

補足

むろん、(3)は次を意味する。

(4) dimW(λ)=m、・・・dimW(λ)=m

証明

r=1 の場合について考える。

いま、dimW(λ)=「λの重複度 」 である。(※Z20)

また、よく知られているように、dimV=「λの重複度 」 である。

よって、dimW(λ)=dimV である。

よって、W(λ)=V である。

つまり、r=1の場合について定理が成り立つ。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

異なる固有値の数が r より小さい場合について定理が成り立つと仮定する。

λ、・・・、λ を φ の異なる固有値とする。

いま、次が成り立つ。(※Z18、Z19、Z20)

(*1) V=W(λ)□V

(*2) W(λ)は φ 不変である。

(*3) V は φ 不変である。

(*4) Fφ(x)=FW(λ)(x)・F(x)

(*5) φ|W(λの固有多項式は(x−λdimW(λである。

(*6) dimW(λ)=m

よって、

(*7) F(x)=(x−λ・・・(x−λ

よって、帰納法の仮定より、

(**1) V=W(λ)□・・・□W(λ

(**2) W(λ)は φ 不変である。( i=2、・・、r )

(**3) φ|W(λi) の固有多項式は(x−λ である。( i=2、・・、r )

以上、(*1)、(*2)、(*5)、(**1)、(**2)、(**3)より、定理が示された。

Z22

φ:V→V を線形変換とする。

λ、・・・、λ を φ の異なる固有値全体とする。

このとき、次は同値である。

(1) Fφ(x)=(x−λ・・・(x−λ

(2) V=W(λ)□・・・□W(λ

(3) φの表現行列は三角化可能である。

補足

とくに、V が 上ベクトル空間の場合、(1)〜(3)は自然に成り立つ。

証明

(1)⇒(2)は既に示した。(※Z21)

(2)⇒(1)は明らかである。(※Z19、Z20)

(1)⇒(3)は既に示した。(※Z1)

(3)⇒(1)は明らかである。