巾零部分空間、安定部分空間

サイトのTOP→理系インデックス
線形代数のTOP→線形代数インデックス





注意 ( 真部分集合の表記 )

A が X の真部分集合であることを A<X と表す。

むろん、これは実数の不等号とは区別する。

Z13 ( 巾零部分空間 )

φ:V→V を線形変換とする。

={0}、W=Kerφ、W=Kerφ、・・・とおく。

このとき、ある自然数 N が存在して、次が成り立つ。

(*) W<W<・・・<W=WN+1=・・・

この W を 『 φの巾零部分空間 』 という。

証明

の次元を n とおく。

いま、W⊂W⊂W⊂・・・⊂V である。

よって、0=n≦n≦n≦・・・≦dimV=n である。

よって、ある i が存在して、n=ni+1 となる。

このような i の中で、最小のものを N とおく。

いま、n=nN+1 かつ W⊂WN+1 である。

よって、W=WN+1 である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、WN+1=WN+2 を示す。

いま、WN+1⊂WN+2 である。(★1)

w∈WN+2 とおく。

いま、φN+1(φ(w))=φN+2(w)=0 である。

よって、φ(w)∈WN+1 である。

一方、WN+1=W である。

よって、φ(w)∈W である。

よって、φN+1(w)=φ(φ(w))=0 である。

よって、w∈WN+1 である。

よって、WN+2⊂WN+1 である。(★2)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(★1)、(★2)より、WN+1=WN+2 である。

帰納的に、W=WN+1=WN+2 =・・・が示される。

Z14 ( 安定部分空間 )

φ:V→V を線形変換とする。

=V、V=Imφ、V=Imφ、・・・とおく。

このとき、ある自然数 N が存在して、次が成り立つ。

(1) V=V>V>・・・>V=VN+1=・・・

(2) 任意の i≧N と k≧1 に対し、φVi:V→Vi+k=V は同型写像である。

この V を 『 φの安定部分空間 』 という。

(1)の証明

いま、任意の i≧0 に対し、φ(V)=Vi+1 である。

また、V=V⊃V である。

ここで、i≧1 に対して Vi−1⊃V が成り立つと仮定する。

いま、φ(Vi−1)⊃φ(V)である。

つまり、V⊃Vi+1 である。

以上により、V⊃V⊃V⊃・・・である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

いま、ある自然数 N が存在して、次が成り立つ。(※Z13)

(*1) dimW<dimW<・・・<dimW=dimWN+1=・・・

つまり、W は φ の巾零部分空間である。

いま、dimW+dimV=n である。(※次元定理)

よって、

(*2) dimV>dimV>・・・>dimV=dimVN+1=・・・

つまり、V>V>・・・>V=VN+1=・・・である。

(2)の証明

明らかに、φ|Vi:V→Vi+1 は全射である。

i≧N の場合、Vi+1=V である。

よって、i≧N の場合、φ|Vi は同型写像である。

よって、i≧N の場合、φVi:V→Vi+m=V は同型写像である。

Z15

φ:V→V を線形変換とする。

を φ の巾零部分空間とする。

を φ の安定部分空間とする。

このとき、N=N である。

証明

既に Z14 の証明の中で示されている。