不変部分空間(表現行列が直和ならば固有多項式は積)

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注意 ( 行列によって定まる線形写像 )

A を m×n 行列とする。

:K→K を f(x)=Ax で定義する。

このとき、f を 『 A によって定まる線形写像 』 という。

つまり、f は A から自然に定まる。

なので、f を A と表すこともある。

つまり、A:K→K と表せば十分である。

以下の議論では、f を A と表す。

定義 ( φ不変 )

φ:V→V を線形変換とする。

W を V の部分空間とする。

φ(W)⊂W であるとする。

このとき、「 W は φ 不変である 」 という。

むろん、A:K→K の場合は 「 A 不変である 」 という。

Z10

A を r 次行列とする。

B を s 次行列とする。

C を r×s 次行列とする。

このとき、次が成り立つ。

補足

むろん、O は s×r 次の零行列である。

証明

これは行列式の定義から証明される。

詳しくは線形代数のページを参照。

ここではこの結果を認めることにしよう。

Z11

A を n 次行列とする。

いま、次のように表せるとする。



ただし、B は r 次行列、C は s 行列、D は r×s 次行列である。

このとき、F(x)=F(x)・F(x)である。

補足

ただし、F(x)は、A の固有多項式を意味する。

つまり、|A−xE|=|B−xE|・|C−xE|を意味する。

証明

明らかである。(※Z10)

Z12

A を n 次行列とする。

A:K→K を A によって定まる線形写像とする。

、・・・、V⊂K を A 不変な部分空間とする。(★1)

{ v(k)、・・・、v(k)} を V の基底とする。(★2)

{ v(1)、・・・、 v(1)、・・・、 v(p)、・・・、 v(p) } は K の基底であるとする。(★3)

次のようにおく。



このとき、次が成り立つ。

補足

(2)は、|A−xE|=|A−xE|・・・|A−xE|を意味する。

補足

(*2)の意味について補足しておこう。

まず、v(k)∈V である。

また、V は A 不変である。

よって、Av(k)∈V である。

よって、Av(k) を V の基底で表せる。

つまり、Av(k) は v(k)、・・・、v(k) の1次結合で表せる。

だから、(*2)のようにおくことができる。

(1)の証明

簡略化のため、p=2 の場合について考える。

V、W⊂K を、A-不変な部分空間とする。

{ v、・・・、v } を V の基底とする。

{ w、・・・、w } を W の基底とする。

{ v、・・・、v、w、・・・、w } を K の基底とする。

いま、明らかに、K=V□W である。

また、仮定より、Av∈V、Aw∈W である。

よって、次のように表せる。



ここで、P=( v、・・・、v、w、・・・、w )とおく。

つまり、P は n×n 行列である。

いま、次のように表せる。



よって、

(2)の証明

明らかである。(※Z11)

参考

Z12 において、もし、A、・・・、A がジョルダン細胞ならば、(1)はジョルダン標準形を意味する。

しかし、次のような疑問が残る。

(1) どうすれば、A、・・・、A はジョルダン細胞になるのか?

(2) 条件(★1)〜(★3)はどのように満たされるのか?

実は、条件(★1)〜(★3)を外して、つねに A、・・・、A がジョルダン細胞となるようにできる。

これを示すことが、これから始まる旅の目的である。