一般固有空間

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復習 ( 固有空間 )

φ:V→V を線形変換とする。

λ∈K とおく。

V(λ)={ v∈V|(φ−λI)v=0 } と定義する。(★)

V(λ)≠{0}であるとする。

このとき、V(λ)を 『 λに伴う φ の固有空間 』 という。

また、V(λ)の元を 『 φの固有ベクトル 』 という。

また、λを 『 φの固有値 』 という。

(★)を次のように表して意味は同じである。

(*1) V(λ)={ v∈V|φ(v)=λv }

(*2) V(λ)=Ker(φ−λI)

定義 ( 一般固有空間 )

φ:V→V を線形変換とする。

λ∈K とおく。

W(λ)={ v∈V|ある自然数 N が存在して、(φ−λI)v=0 } と定義する。

このとき、W(λ)を 『 λに伴う一般固有空間 』 という。

つまり、一般固有空間は 『 φ−λI の巾零部分空間 』 である。

Z16

V(λ)を固有空間とする。

W(λ)を一般固有空間とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) W(λ)は V の部分空間である。

(2) W(λ)は φ 不変である。

(3) {0}≠V(λ)⊂W(λ)

(1)〜(3)の証明

明らかである。