ジョルダン標準形

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定義 ( ジョルダン細胞 )

A を n 次行列とする。

A の n 個の対角成分がすべて a∈K であるとする。

対角成分の右上の(n−1)個の成分はすべて1であるとする。

上記以外の成分はすべて 0 であるとする。

このとき、A を 『 a に属する n 次ジョルダン細胞 』 という。

また、A を J(a、n)と表す。

つまり、

定義 ( ジョルダン行列 )

ジョルダン細胞の直和を 『 ジョルダン行列 』 という。

つまり、ジョルダン行列は次の形で表される。

対角行列はジョルダン行列と見なせる。

実際、ジョルダン細胞の次数がすべて1になっていると考えればよい。

Z29

φ:V→V を線形変換とする。

a∈V ( ただし a≠0 ) とおく。

ある自然数 N が存在して、φN−1(a)≠0、φ(a)=0 であるとする。

( つまり、N は φ(a)=0 を満たす最小の自然数である )

このとき、{ a、φ(a)、・・・、φN−1(a) } は1次独立である。

補足

これは既に示されている。(※Z25)

しかし、ここでは改めて直接的な証明を書いておこう。

証明

a+cφ(a)+・・・+cN−1φN−1(a)=0 とおく。

両辺に φN−1 を作用させると、cφN−1(a)=0 である。

よって、c=0 である。

上記の操作を繰り返せば、c=0、・・・、cN−1=0 である。

Z30 ( 巾零変換のジョルダン標準形 )

φ:V→V を巾零変換とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) ある ( V の ) 基底 B が存在して、B に関する φ の表現行列はジョルダン行列となる。

(2) これはジョルダン細胞の並べ方を除いて一意である。

(1)の証明

φN−1≠0、φ=0 とする。

いま、ある e∈V が存在して、φN−1(e)≠0 となる。

また、B={ e、φ(e)、・・・、φN−1(e) } は1次独立である。(※Z29)

W を、B によって生成される部分空間とする。

明らかに、W は φ 不変である。

また、dimW=N である。

φ| を φ の W への制限とする。

明らかに、B に関する φ| の表現行列は、ジョルダン細胞 J(0、N)である。

( つまり、対角線の右上に1が並んだ行列である )

V=W ならば証明が終了する。

そこで、V≠W の場合について考える。

Z26(ジョルダン図式)より、



上では左端の縦列 { v、・・・、φp−1(v) } について議論した。

同様のことを他の列についても繰り返せばよい。(※Z26)

(2)の証明

上の証明と同様に、φN−1≠0 かつ φ=0 とする。

φの表現行列としてのジョルダン行列の j 次ジョルダン細胞の個数を m とする。

( 1≦j≦N ) が基底の取り方に依存しないことを示せば定理の証明が完了する。

rankφ=r ( 0≦i≦N−1 ) とする。

、・・・、m が r、・・・、rN−1 によって定まることを示せばよい。(★)

J(0、i)をジョルダン細胞とする。

いま、J(0、i)、J(0、i)、・・・を考えると、斜線に並ぶ1は右上に移動していく。

よって、



よって、



つまり、rN−1 が定まれば、m が定まる。(※ rN−1=m となることに注目 )

また、rN−2 が定まれば mN−1 が定まる。(※ rN−2=mN−1+2m となることに注目 )

これを繰り返せば(★)が示される。

Z31

φ:V→V を線形変換とする。

φの固有値がすべて同一であるとする。

このとき、φの表現行列としてのジョルダン行列は、ジョルダン細胞の並び方を除けば一意である。

証明

φの固有値がすべて同一であるとする。

λを φ の固有値とする。

いま、ある ( V の ) 基底 B が存在して、B に関する φ の表現行列は三角行列となる。(※Z1)

しかも、A の対角成分はすべてλである。

よって、ある自然数 N が存在して、(A−λE)=0 である。

よって、(φ−λI)=0 である。

つまり、φ−λI は巾零変換である。

よって、φ−λI の表現行列としてのジョルダン行列は、細胞の並び方を除けば一意である。(※Z30)

よって、φの表現行列としてのジョルダン行列も、細胞の並び方を除けば一意である。

Z32 ( ジョルダン標準形〜その1 )

φ:V→V を線形変換とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) ある ( V の ) 基底 B が存在して、B に関する φ の表現行列はジョルダン行列となる。

(2) これはジョルダン細胞の並べ方を除いて一意的である。

(1)の証明

λ、・・・、λ を φ の相異なる固有値とする。

W(λ)を一般固有空間とする。

φ を φ の W(λ)への制限とする。

いま、次が成り立つ。(※Z21、フロベニウスの定理)

(*1) V=W(λ)□・・・□W(λ

(*2) φ=φ□・・・□φ

(*3) (φ−λI)mi=0 ( m=dimW(λ) )である。

つまり、φ−λI は巾零変換である。

よって、W(λ)の基底 B が存在して、B に関する φ−λI の表現行列はジョルダン行列である。(※Z30)

明らかに、同じ基底 B に関する φ=(φ−λI)+λI の表現行列もジョルダン行列である。

つまり、各 φ の表現行列はジョルダン行列である。

B を B、・・・、B を合わせた V の基底とする。

( このようにできることは(*1)から分かる )

いま、(*2)より、φの表現行列はジョルダン行列になる。

(2)の証明

各 φ のジョルダン行列はジョルダン細胞の並べ方を除いて一意である。(※Z30)

よって、φのジョルダン行列も、ジョルダン細胞の並べ方を除いて一意である。

Z33 ( ジョルダン標準形〜その2 )

A∈M(K)とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) ある正則行列 P∈M(n×n、K) が存在して、B=P−1AP はジョルダン行列となる。

(2) これはジョルダン細胞の並べ方を除いて一意である。

証明

明らかである。(※Z32)

定義 ( ジョルダン標準形 )

Z33 の B を 『 Aのジョルダン標準形 』 という。