ジョルダン標準形:証明までの流れ

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参考 ( 議論の流れ )

次の手順でジョルダン標準形の存在と一意性を証明する。

参考 ( 要点 )

ジョルダン標準形の議論は少し複雑である。

途中過程を丁寧に説明しても、全体として何が起こっているのか分からなくなってしまう人も多いであろう。

そこで、ここで要点を述べておく。

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まず、ジョルダン細胞を定義しよう。

A を n 次行列とする。

A の n 個の対角成分がすべて a∈K であるとする。

対角成分の右上の(n−1)個の成分はすべて1であるとする。

上記以外の成分はすべて 0 であるとする。

このとき、A を 『 a に属する n 次ジョルダン細胞 』 という。

また、A を J(a、n)と表す。

例えば、



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次に、ジョルダン標準形を定義しよう。

ジョルダン細胞の直和を 『 ジョルダン行列 』 という。

つまり、ジョルダン行列は次の形で表される。



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そして、ジョルダン標準形の理論では、次のことが基本的である。

(*) 任意の線形変換に対し、ある基底が存在して、その基底に関する表現行列がジョルダン標準形となる。

よく知られているように、線形変換の表現行列を対角化できるとは限らない。

しかし、ジョルダン標準形の場合はつねにそれが可能となる。

対角化ができない行列に対し、次善の策となるのがジョルダン標準形である。

以下、ジョルダン標準形の存在について、概略を述べる。

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φ:V→V を巾零集合とする。

つまり、ある自然数 N が存在して、φ=0 (零写像) である。

そのような自然数 N で、最小のものを N と表す。

つまり、φ=0 であり、φN−1≠0 である。

=Ker(φ)、Wp−1=Ker(φp−1)、・・・ とおく。

いま、{0}<W<W<・・・<W=V である。

( ただし、A<B は 「 A が B の真部分集合である 」 を意味する )

このとき、次の手順で V の基底を構成できる。(詳しくは本編で示す)

(*) W−Wp−1 の1次独立な部分集合 M を選ぶ。

(*) Wp−1−Wp−2 の1次独立な部分集合 Mp−1 を選ぶ。

・・・

(*) W の基底 M を選ぶ。

つまり、{0}<W<W<・・・<W=V の隙間を埋めるようにして基底を構成できる。

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さらに、その構成法には重要な法則がある。

実は、φ(M)=Wi−1−Wi−2 である。

つまり、W−W の隙間をφで写すと、それは Wi−1−Wi−2 の一部になる。

ここに、ある F⊂=Wi−1−Wi−2 を追加して、M∪φ(M)∪F が1次独立となるようにできる。

以上の内容をまとめると、



これを 『 ジョルダン図式 』 と呼ぶことにしよう。

上図では、横並びのブロック列が Wi−1−Wi−2 の1次独立な元に相当する。

しかし、ここで重要なことは縦列である。

実は、これが既にジョルダン標準形を表していると言ってよい。

以下、これについて説明しょう。

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φ:V→V を巾零変換とする。

つまり、ある自然数 N が存在して、φ=0 であり、φN−1≠0 である。

いま、ある e∈V が存在して、φN−1(e)≠0 である。

また、B={ e、φ(e)、φ(e)、・・・ } は1次独立である。(※ジョルダン図式)

W を B によって生成される部分空間とする。

明らかに、W はφ不変である。( つまり、φ(W)⊂W である )

明らかに、B に関する φ| の表現行列はジョルダン細胞 J(0、N) である。

W=V ならば証明は終了である。

W≠V の場合は、ジョルダン図式の他の列について繰り返せばよい。

結局、ジョルダン標準形はジョルダン図式そのものであると言える。

ただし、上の説明では、ジョルダン図式の構成法は述べなかった。(★1)

また、ジョルダン細胞からジョルダン標準形へのつながりにはあまり踏み込まなかった。(★2)

これらのことを示すことが本編の目的である。

ちなみに、(★1)を示すために特別な知識は必要ない。

だから、『 議論の流れ 』 においても、巾零部分空間から矢印が引かれているだけである。

一方、(★2)を示すためには少し準備が必要である。

既に述べたように、ジョルダン標準形は、ジョルダン細胞の直和で表される。

表現行列を直和で表すためには、ベクトル空間を直和で表す必要がある。

ベクトル空間を直和で表すためには、一般固有空間に関する議論が必要である。

だから、『 議論の流れ 』 においても、一般固有空間から矢印が引かれている。

そして、分かれていた矢印がジョルダン標準形で合流する。