ジョルダン標準形による行列の巾乗計算

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Z34

A、A、・・・、A を正方行列とする。

A=A□・・・□A とする。

F(x)を多項式とする。

このとき、次の(1)、(2)が成り立つ。

(1) F(A)=F(A)□・・・□F(A)である。

(2) A=A□・・・□A である。

証明

(1)、(2)ともに明らかである。

しかし、ここでは(2)を証明しておこう。

仮定より、



一方、よく知られているように、対角行列の m乗は、その対角成分を m乗したものになる。

また、線形代数インデックスでは、ブロック分割による計算を説明した。

ブロック分割の計算では、普通の行列と同じように計算できることを紹介した。

以上により、

Z35

J(r、λ)をジョルダン細胞とする。

次のようにおく。



このとき、次が成り立つ。



実際に書き下すと、

証明

、N、・・・で計算していくと、N において斜めに並んだ1は左下に移動する。

このことに注意すれば明らかである。

参考

A を正方行列とする。

A の m乗を計算するにはどうすればよいであろうか?

そのためには、ジョルダン標準形を考えればよい。

J を A のジョルダン標準形とする。

つまり、ある正則行列 P が存在して、J=P−1AP となる。

このとき、J=(P−1AP)=(P−1AP)(P−1AP)・・・(P−1AP)=P−1P である。

むろん、J は次の形である。



よって、J を計算できる。(※Z34、Z35)

よって、A=P−1P より、A を計算できる。