最小多項式とジョルダン標準形

サイトのTOP→理系インデックス
線形代数のTOP→線形代数インデックス





定義 ( 最小多項式 )

A∈M(m、)とする。

f(x)を 0 でない多項式とする。

さらに、f(X)は次の(1)〜(3)を満たすとする。

(1) f(A)=O

(2) f(A)=0 となる多項式の中で、f(x)の次数は最小である。

(3) 最高次係数が1である。

このとき、f(x)を 『 A の最小多項式 』 という。

g(x)を A の固有多項式とする。

いま、g(A)=O である。(※ケイリー・ハミルトンの定理)

しかし、g(x)よりも次数が小さい多項式 h(x)が存在して、h(A)=O となるかもしれない。

よって、固有多項式と最小多項式が一致するとは限らない。

Z43 ( 剰余定理 )

f(x)、g(x)を多項式とする。

g(x)≠0 とする。

このとき、ある多項式 q(x)、r(x)が存在して、次が成り立つ。

(*) f(x)=g(x)q(x)+r(x) degr(x)<degg(x)

しかも、このような q(x)、r(x)は一意的である。

証明

後日。

Z44 ( 因数定理 )

f(x)を多項式とする。

αを複素定数とする。

このとき、次の(1)、(2)は同値である。

(1) x−αは f(x)を割り切る。

(2) f(α)=0

証明

ある多項式 q(x)、r(x)が存在して、次が成り立つ。(※Z43)

(*) f(x)=(x−α)q(x)+r(x) degr(x)<deg(x−α)

deg(x−α)=1であるから、degr(x)=0 である。

よって、r(x)は定数である。

そこで、r(x)=r とおく。

いま、f(α)=r である。

明らかに、「 x−αが f(x)を割り切ること 」 と 「 r=0 」 は同値である。

Z45

A を正方行列とする。

φ(x)を A の最小多項式とする。

f(x)を多項式とする。

f(A)=0 であるとする。

このとき、φ(x)は f(x)を割り切る。

証明

ある多項式 q(x)、r(x)が存在して、次が成り立つ。(※Z43)

(*) f(x)=φ(x)q(x)+r(x) degr(x)<degφ(x)

いま、0=f(A)=r(A)である。

しかも、degr(x)<degφ(x)である。

よって、r(x)=0 である。(※定義:最小多項式)

参考

ψ(x)を A の固有多項式とする。

このとき、ψ(A)=0 である。(※ケイリー・ハミルトンの定理)

よって、φ(x)はψ(x)を割り切る。(※Z45)

Z46

J(k、λ)をジョルダン細胞とする。

φ(x)を J(k、λ)の最小多項式とする。

これはφ(x)=(x−λ) と表せる。

証明

g(x)=(x−λ) とおく。

明らかに、



しかも、(J(k、λ)−λE)=O である。

よって、g(J(k、λ))=0 である。

しかも、明らかに、g(x)の次数は g(A)=0 を満たす多項式の中で最小である。

よって、g(x)=φ(x)である。

Z47

φ(x)を A の最小多項式とする。

ψ(x)を B の最小多項式とする。

ζ(x)を A□B の最小多項式とする。

このとき、ζ(x)はφ(x)とψ(x)の最小公倍多項式である。

証明

f(x)をφ(x)をψ(x)の最小公倍多項式とする。

C=A□Bとする。

いま、f(C)=f(A)□f(B)である。(※Z36)

φ(A)より、f(A)=O である。

ψ(B)より、f(B)=O である。

よって、f(C)=O である。

よって、ζ(x)は f(x)を割り切る。(※Z45)(★1)

一方、ζ(C)=O である。

よって、ζ(A)=O、ζ(B)=O である。

よって、φ(x)とψ(x)はζ(x)を割り切る。

よって、f(x)はζ(x)を割り切る。(★2)

(★1)、(★2)より、f(x)=ζ(x)である。

Z48

P を正則行列とする。

f(x)を多項式とする。

このとき、f(P−1AP)=P−1f(A)P である。

証明

明らかに、Pf(P−1AP)P−1=f(A)である。(※普通に分配則を用いればよい)

よって、f(P−1AP)=P−1f(A)P である。

Z49

P を正則行列とする。

φ(x)を A の最小多項式とする。

ψ(x)を P−1AP の最小多項式とする。

このとき、φ(x)=ψ(x)である。

証明

仮定より、φ(A)=O である。

よって、φ(P−1AP)=O である。(※Z48)

よって、ψ(x)はφ(x)を割り切る。(※Z45)(★1)

一方、仮定より、ψ(P−1AP)=O である。

よって、ψ(A)=O である。(※Z48)

よって、φ(x)はψ(x)を割り切る。(※Z45)(★2)

(★1)、(★2)より、φ(x)=ψ(x)である。

Z50

λ、・・・、λ を A の相異なる固有値とする。

λ (1≦i≦p)に対するジョルダン細胞の最大次数を N とする。

φ(x)を A の最小多項式とする。

このとき、φ(x)=(x−λN1・・・(x−λNp である。

証明

J を A のジョルダン標準形とする。

つまり、ある正則行列 P が存在して、J=P−1AP である。

いま、A の最小多項式と、J の最小多項式は等しい。(※Z49)

よって、最初から A をジョルダン行列として考えてよい。

ψ(x)を A の固有多項式とする。

いま、φ(x)はψ(x)を割り切る。(※Z45、ケイリー・ハミルトンの定理)

よって、φ(x)=(x−λ・・・(x−λ ( 1≦M≦m ) の形である。

ただし、m は固有値λ の重複度である。

いま、A はジョルダン行列である。

そこで、A をジョルダン細胞の直和として、A=□1≦k≦r と表す。

を A の次数とする。

i1、・・・、Aid を、A のうちでλ に対するすべてのジョルダン細胞とする。

いま、N=max{ Si1、・・・、Sid } である。

=Siq とおく。

いま、(x−λNi=(x−λSiq は Aiq の最小多項式である。(※Z46)

また、φ(x)は(x−λN1、・・・、(x−λNp の最小公倍多項式である。(※Z47)

よって、N≦M、・・・、N≦M である。

よって、N=M、・・・、N=M である。(※φ(x)は最小多項式)