三角化定理、フロベニウスの定理、ケイリー・ハミルトンの定理

サイトのTOP→理系インデックス
線形代数のTOP→線形代数インデックス





注意

以下、V は K 上のベクトル空間であるとする。

K は または を意味すると考えてよい。

参考

このページでは、最初に 『 三角化定理 』 を示す。

さらに、三角化定理から次の2つが示される。

(1) フロベニウスの定理

(2) ケイリー・ハミルトンの定理

定義 ( 和空間 )

V を K 上のベクトル空間とする。

、W を V の部分空間とする。

+W={ v+v|v∈W、v∈W } と定義する。

このとき、W+W を 『 W と W の和空間 』 という。

定義 ( 直和分解 )

V を K 上のベクトル空間とする。

、W を V の部分空間とする。

V=W+W であるとする。

任意の v∈V に対して w∈W、w∈W が一意的に存在して、v=w+w となるとする。

このとき、V を 『 W と W の直和 』 といい、V=W□W と表す。

また、W を 『 Wの補空間 』 という。

定義 ( φの多項式 )

φ:V→V を線形変換とする。

ρ(x)∈K[x] とおく。

つまり、ρ(x)=c+cx+・・・+c である。

これに対し、ρ(φ)=cI+cφ+・・・+cφ と定義する。

ρ(φ)を 『 ρ(x)に φ を代入して得られる多項式 』 という。

K[x]は 『 Kを係数とする多項式全体 』 を意味する。

定義 ( A の多項式 )

A∈M(n、K) とおく。( つまり、A は K の元を成分にもつ n 次行列である )

ρ(x)∈K[x] とおく。

つまり、ρ(x)=c+cx+・・・+c である。

これに対し、ρ(A)=cE+cA+・・・+c と定義する。

ρ(A)を 『 ρ(x)に A を代入して得られる多項式 』 という。

Z1 ( 三角化定理 )

V を n 次元ベクトル空間とする。

φ:V→V を線形変換とする。

φは(重複を含めて) n 個の固有値をもつとする。(★)

λ、・・・、λ を φ の固有値とする。

( つまり、Fφ(x)を φ の固有多項式とすれば、Fφ(x)=(x−λ)・・・(x−λ)である )

このとき、ある基底が存在して、その基底に関する φ の表現行列は次の形で表される。

補足

V が 上のベクトル空間の場合、条件(★)は外してよい。

なぜなら、 上では必ず因数分解できるからである。(※代数学の基本定理)

証明

n=1の場合、明らかに定理が成り立つ。

n−1の場合について定理が成り立つとする。

を φ の固有値λ に伴う固有ベクトルとする。

いま、ある w、・・・、w が存在して、{ v、w、・・・、w } が V の基底となる。

< v > を、{ v} によって生成される部分空間とする。

W を { w、・・・、w } によって生成される部分空間とする。

いま、V=<v>□W である。

w∈W とおく。

いま、ある λ∈K、w’∈W が一意に存在して、φ(w)=λv+w’となる。

g:W→W を g(w)=w’で定義する。

いま、φ(w)=λv+g(w)である。

明らかに、g は線形写像である。

B を { w、・・・、w }に関する g の表現行列とする。

A を { v、w、・・・、w } に関する φ の表現行列とする。

いま、次が成り立つ。(★)



( むろん、B は(n−1、n−1)型の行列である )

いま、Fφ(x)=(x−λ)F(x)である。(※定義:固有多項式)

一方、Fφ(x)=(x−λ)・・・(x−λ)である。

よって、F(x)=(x−λ)・・・(x−λ)である。

つまり、g:W→W は固有値λ、・・・、λ をもつ。

よって、ある基底 { v、・・・、v }⊂W が存在して、

その基底に関する g の表現は次の形で表される。(※帰納法の仮定)



以上により、{ v、・・・、v } に関する φ の表現は、

(★)について補足

いま、φ(v)=λ である。

また、φ(w)、・・・、φ(w)∈W である。

よって、φ(w)、・・・、φ(w)は { v、w、・・・、w } の1次結合で表される。

よって、



連立方程式の係数と表現の成分が転置の関係であることに注意。(※定義:表現行列)

また、φ(w)=0v+*w+・・・+*w とは限らないことに注意。

なぜなら、φ(W)⊂W とは限らないからである。

ちなみに、φ(W)⊂W が成り立つことを 「 W は φ 不変である 」 という。

これは本編で登場する重要な性質である。

Z2

A、B を次のような形の三角行列とする。



このとき、AB は次のような形の三角行列となる。

証明

明らかである。

Z3 ( フロベニウスの定理 )

V を n 次元ベクトル空間とする。

φ:V→V を線形変換とする。

φは(重複を含めて) n 個の固有値をもつとする。(★)

λ、・・・、λ を φ の固有値とする。

( つまり、Fφ(x)を φ の固有多項式とすれば、Fφ(x)=(x−λ)・・・(x−λ)である )

このとき、ρ(λ)、・・・、ρ(λ)はρ(φ)の固有値である。

補足

V が 上のベクトル空間の場合、条件(★)は外してよい。

なぜなら、 上では必ず因数分解できるからである。(※代数学の基本定理)

補足

定理を次のように表しても意味は同じである。

(*) Fφ(x)=(x−λ)・・・(x−λ) ⇒ Fρ(φ)(x)=(x−ρ(λ))・・・(x−ρ(λ))

証明

いま、ある基底 B⊂V が存在して、B に関する φ の表現 A は次の形で表される。(※Z1)



いま、次が成り立つ。(※Z2)



よって、



また、明らかに、ρ(A)は基底 B に関するρ(φ)の表現行列である。

Z4 ( ケイリー・ハミルトンの定理〜その1 )

φ:V→V を線形変換とする。

φは(重複を含めて) n 個の固有値をもつとする。(★)

λ、・・・、λ を φ の固有値とする。

( つまり、Fφ(x)を φ の固有多項式とすれば、Fφ(x)=(x−λ)・・・(x−λ)である )

このとき、Fφ(φ)=0 ( 零写像 ) である。

補足

V が 上のベクトル空間の場合、条件(★)は外してよい。

なぜなら、 上では必ず因数分解できるからである。(※代数学の基本定理)

補足

むろん、Fφ(φ)は V から V への写像である。

証明

いま、Fφ(φ)=(φ−λI)・・・(φ−λI)である。

ある基底 { v、・・・、v }⊂V が存在して、

この基底に関する φ の表現行列は次の形で表される。(※Z1)



いま、φ(v)=λ である。

よって、(φ−λI)(v)=0 である。(★)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

ここで、次の(*2)を仮定する。(帰納法の仮定)



いま、



また、(*1)より、φ(v)=*v+・・・+*vr−1+λ である。(※定義:表現行列)

よって、(φ−λI)(v)=*v+・・・+*vr−1 である。

つまり、(φ−λI)(v)は v、・・・、vr−1 の1次結合である。

よって、(*3)より、



(*3)、(*4)をまとめると、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

以上により、(*2)から(*5)が得られた。

これを(★)に適用すれば、帰納的に、



つまり、Fφ(φ)(v)=0 である。

よって、任意の v∈V に対し、Fφ(φ)(v)=0 である。

Z5 ( ケイリー・ハミルトンの定理〜その2 )

任意の A∈M(n、K)に対し、F(A)=0 である。

( つまり、上式の右辺は零行列である )

証明

明らかである。(※Z4)

参考

高校数学でもよく知られているように、方程式は必ずしも因数分解できるとは限らない。

しかし、複素数の範囲で考えれば、つねに因数分解できる。

これは 『 代数学の基本定理 』 として知られている。

代数学の言葉で詳しく言えば、体を拡大すれば根が見つかるということである。

あるいは、体を拡大して代数的閉体について考えるということである。

つまり、複素数全体 は代数的閉体である。

代数学を知らない人は気にしなくてよいが、背景にそういうものがあることを知ってもらえばと思う。