ジョルダン分解(SN分解)

サイトのTOP→理系インデックス
線形代数のTOP→線形代数インデックス





Z36

φ:V→V を線形変換とする。

V(λ)を固有空間とする。

W(λ)を一般固有空間とする。

このとき、次は同値である。

(1) φは対角化可能である。

(2) φの任意の固有値λに対し、V(λ)=W(λ)である。

証明

いま、V(λ)⊂W(λ)である。(※定義(一般固有空間)または、Z16(3))

よく知られているように、次は同値である。

(*1) φは対角化可能である。

(*2) dimF(λ)=m

( ただし、F(λ)は固有多項式である )

よって、明らかである。(※Z20)

Z37 ( 巾零変換に対する同値条件 )

φ:V→V を線形変換とする。

dimV=n とする。

このとき、次は同値である。

(1) φは巾零である。

(2) Fφ(x)=x

証明

(1)を仮定する。

いま、ある整数 p>0 が存在して、φ=0 となる。(★)

A を φ の表現行列とする。

λを A の K における固有値とする。

x∈K をλに対する A の固有ベクトルとする。

いま、Ax=λx である。

また、Ax=λx である。

一方、(★)より、A=O である。

よって、λx=0 である。

よって、λ=0 である。

以上により、A の K における固有値は 0 のみである。

よって、Fφ(x)=(x−0) である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

いま、Fφ=0 である。(※ケイリー・ハミルトンの定理)

よって、φ=0 である。

Z38

A、B を n次行列とする。

A と B は可換であるとする。(すなわち、AB=BA である)

A−B はべき零行列であるとする。

このとき、A と B の固有値はすべて共通である。

証明

仮定より、ある自然数 n が存在して、(A−B)=O である。

V をλに属する B の固有ベクトルとする。

N=A−B とおく。

いま、B−λE と N は可換である。

よって、(A−λE)=(N+B−λE)0≦k≦n (B−λE)n−k である。

いま、(B−λE)v=0 である。

よって、(A−λE)v=Nv=0 である。

r を A−λE の指数とする。( すなわち、(A−λE)r−1≠0 かつ(A−λE)=0 とする )

ここで、w=(A−λE)r−1v とおく。

いま、w≠0 かつ Aw=λw である。

よって、λは A の固有値である。

Z39

φ:V→V を線形変換とする。

W を V の φ 不変部分空間とする。

φ’を φ の W への制限とする。

このとき、φが対角化可能ならば、φ’も対角化可能である。

証明

λを φ’の固有値とする。

W(λ)をλに属する φ’の一般固有空間とする。

V(λ)をλに属する φ’の固有空間とする。

x∈W(λ)とおく。

つまり、x はλに属する φ’の一般固有ベクトルである。

いま、(φ−λIx=(φ’−λIx=0 である。

よって、x はλに属する φ の一般固有ベクトルである。

よって、x は φ の固有ベクトルである。(※Z36)

よって、x は φ’の固有ベクトルである。

以上により、W(λ)⊂V(λ)である。

一方、明らかに、V(λ)⊂W(λ)である。(※定義:一般固有空間、またはZ16(3))

よって、W(λ)=V(λ)である。

よって、φ’は対角化可能である。(※Z36)

Z40 ( ジョルダン分解〜その1 )

φ:V→V を線形変換とする。

このとき、ある線形変換の組 <S、N> が存在して、次を満たす。

(1) φ=S+N

(2) SN=NS

(3) S は対角化可能であり、N はべき零行列である。

しかも、このような <S、N> は一意に定まる。

上記のような <S、N> を 『 ジョルダン分解(SN分解)』 という。

証明

λ、・・・、λ を φ の相異なる固有値とする。

W(λ)をλ に属する φ の一般固有空間とする。

φ を、φのW(λ)への制限とする。

いま、φ=φ□・・・□φ である。(※Z21)

ここで、S=λW(λi)、N=φ−S とおく。

いま、明らかに、次が成り立つ。

(*1) φ=S+N

(*2) S=N

(*3) S は対角化可能である。

x∈W(λ)をλ に属する固有ベクトルとする。(※V(λ)⊂W(λ)に注意)

いま、N(x)=(φ−S)(x)=λx−λx=0 である。

つまり、N の固有値はすべて 0 である。

よって、N は巾零である。(※Z37)

ここで、S=S□・・・□S、N=N□・・・□N とおく。

いま、S と N は定理の条件を満たす。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に一意性を示す。

φ=S’+N’が定理の条件を満たすとする。

x∈W(λ)とおく。

いま、S’N’=N’S’である。

よって、(φ−λI)(S’x)=S’(φ−λI)x=0 である。

’を S’の W(λ)への制限とする。

’を N’の W(λ)への制限とする。

いま、S’=S’□・・・□S’、N’=N’□・・・□N’である。(※Z21)

また、φ=S’+N’である。

よって、S’φ=φ’である。(★1)

いま、N’の固有値はすべて 0 である。(※Z37)

よって、N’の固有値もすべて 0 である。(★2)

つまり、φ−S’の固有値は 0 である。

よって、φ を S’の固有値はすべて共通である。(※Z38)

よって、S’の固有値はすべてλ である。

( V(λ)⊂W(λ)であり、異なる W(λ)は共通部分をもたないことに注意 )

いま、S’は対角化可能である。(※Z39)

よって、V(λ)=W(λ)である。(※Z36)

よって、S’=λW(λi) である。

よって、S’=S である。

よって、N’=N である。

よって、S’=S かつ N’=N である。

Z41 ( ジョルダン分解〜その2 )

A を正方行列とする。

このとき、行列の組 <S、N> が存在して、次の(1)〜(3)を満たす。

(1) A=S+N

(2) SN=NS

(3) S は対角化可能であり、N はべき零行列である。

しかも、このような <S、N> は一意的に定まる。

証明

明らかである。(※Z40を行列に書き換えただけである)

Z42

A を正方行列とする。

<S、N> を A のジョルダン分解とする。

A が実行列ならば、S と N も実行列である。

証明

いま、A=S+N である。

よって、 である。

一方、A= である。

よって、A= である。

しかも、 はジョルダン分解の条件(1)〜(3)を満たしている。

よって、S= かつ N= である。(※ジョルダン分解の一意性)