射影子

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定義 ( 射影 )

V をベクトル空間とする。

V=V□・・・□V とする。

いま、任意の v∈V は、v=v+・・・+v (v∈V) の形で表される。

:V→V を p(v)=v で定義する。

このとき、p を 『 射影 』 という。

明らかに、p は線形写像である。

定義 ( 射影子 )

φ:V→V を線形変換とする。

φ=φ であるとする。

このとき、φ を 『 射影子 』 という。

Z6

V をベクトル空間とする。

、・・・、V を V の部分空間とする。

このとき、次は同値である。

(1) V+・・・+V=V□・・・□V

(2) 任意の i (1≦i≦r)に対し、(V+・・・+Vi−1+Vi+1+・・・+V)∩V={0}である。

(3) 任意の i (2≦i≦r)に対し、(V+・・・Vi−1)∩V={0}である。

(4) dim(V+・・・+V)=1≦i≦rdimV

補足

(1)⇔(2)⇔(3)は V が無限次元の場合にも成り立つ。

(4)とその他との同値性は V が有限次元の場合に限る。

証明

これは既に示した。(※F15)

Z7

射影は射影子である。

証明

明らかである。

Z8

V をベクトル空間とする。

V=V□・・・□V とする。

:V→V を射影とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) i≠j ならば p=0

(2) p+・・・+p=I

(1)、(2)の証明

明らかである。

Z9

V をベクトル空間とする。

φ:V→V ( i=1、・・・、r ) を射影子とする。

次が成り立つとする。

(*1) i≠j ならば φφ=0

(*2) φ+・・・+φ=I

このとき、V=Imφ□・・・□Imφ である。

証明

y∈Imφ∩(Imφ+・・・+Imφi−1+Imφi+1+・・・+Imφ) とおく。

いま、ある y∈Imφ ( k=1、・・・、r ) が存在して、

(*3) y=y

(*4) y=y+・・・+yi−1+yi+1+・・・+y

つまり、ある x∈V ( i=1、・・・、r ) が存在して、

(*5) y=φ(x

(*6) y=φ(x)+・・・+φi−1(xi−1)+φi+1(xi+1)+・・・+φ(x

まず、(*5)の両辺に φ を作用させると、φ(y)=φi(x)である。(※定義:射影子)

また、(*6)の両辺に φ を作用させると、φ(y)=0 である。(※仮定(*1)に注意)

よって、y=0 である。

よって、Imφ∩(Imφ+・・・+Imφi−1+Imφi+1+・・・+Imφ)={0}である。

よって、Imφ+・・・+Imφ=Imφ□・・・□Imφ である。(※Z6)

一方、明らかに、Imφ+・・・+Imφ=Im(φ+・・・+φ)である。

よって、V=Imφ□・・・□Imφ である。(※仮定(*2)に注意)