巾零変換、ヤング図形

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定義 ( 分割 )

λ=(λ、・・・、λ) を整数の組とする。

λ≧・・・≧λ>0 であるとする。

このとき、λを 『 分割 』 という。

また、k を 『 λの長さ 』 という。

また、λ+・・・+λ を 『 λの大きさ 』 という。

λの大きさが m であるとき、λ を 『 m の分割 』 という。

定義 ( ヤング図形 )

λ=(3、3、2、1)を分割とする。

次の図形を考える。



これを 『 (3、3、2、1)に対するヤング図形 』 という。

定義 ( 分割の双対 )

ヤング図形を次のように転置する。



転置された後の図形に対応する分割は λ’=(4、3、2) である。

このとき、λ’ を 『 λの双対 』 という。

Z27 ( 巾零変換に対応する分割 )

V を K 上の有限次元ベクトル空間とする。

dimV=m であるとする。

φ:V→V を巾零変換とする。

φの指数を q とする。

このとき、φに対し、m の分割 λ=(λ、・・・、λ) が一意に存在して、次を満たす。

(1) λ=q

(2) あるベクトル v、・・・、v∈V が存在する。

(3) j=1、・・・、k に対し、φλ(v)=0 である。

(4) S={ v、φ(v)、・・・、φλ−1(v)} とすると、S=S∪・・・∪S は V の基底である。

証明

既に示した。(※Z26)

Z26 において M={ v、・・・、v } とする。

すると、Z26 補足の1列目は { v、φ(v)、・・・、φp−1(v) } である。

これは S に相当する。

つまり、S∪・・・∪S=M∪φ(M)∪・・・∪φp−1(M)である。

さらに、Sp+1 が次の段に続いている。

Z28 ( ヤング図形によって Kerφ の次元が分かる )

V を K 上の有限次元ベクトル空間とする。

φ:V→V を巾零変換とする。

φの指数を q とする。

λ=(λ、・・・、λ) を φ に対応する分割とする。(※Z27)

(λ’、・・・、λ’) を λ の双対とする。

このとき、s=1、・・・、q に対し、λ’+・・・+λ’=dimKer(φ) である。

証明

分割がλ=(3、3、2、1)である場合について考える。

、・・・、v を、Z27 の条件を満たすベクトルとする。

いま、φ(v)=0、φ(v)=0、φ(v)=0、φ(v)=0 である。

いま、



また、S=S∪・・・∪S は V の基底である。

これらをヤング図形に書き入れる。



さらに、これをφで写す。( φ(v)などは 0 になるので空欄にする )



既に述べたように、(*1)は V の基底を意味する。

v∈V とおく。

いま、v は(*1)の1次結合で表される。

また、φ(v) は(*2)の1次結合で表される。

いま、v と φ(v) の係数は箱ごとに一致する。

ここで、v∈kerφである場合について考える。( つまりφ(v)=0 )

この場合、(*2)の空欄以外の係数は 0 である。

つまり、v∈kerφならば、v は1列目のベクトルで表される。

つまり、v はφ(v)、φ(v)、φ(v)、v の1次結合で表される。

つまり、kerφの次元は 4 である。

同様に、kerφ の次元は 4+3 である。

同様に、kerφ の次元は 4+3+2 である。