巾零変換、ジョルダン図式

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注意

φ:V→W を同型写像とする。

E={ v、・・・、v } を V の基底とする。

よく知られているように、{ φ(v)、・・・、φ(v)} は W の基底となる。

以下、φ(E) は { φ(v)、・・・、φ(v)} を意味するものとする。

定義 ( 巾零変換 )

φ:V→V を線形変換とする。

ある自然数 N が存在して、φ=0 となるとする。

このとき、φ を 『 巾零変換 』 という。

とくに、φ=0 を満たす自然数 N で最小のものを 『 φの指数 』 という。

Z23 ( 巾零変換による列 )

φ:V→V を巾零変換とする。

=Kerφ、W=Kerφ、・・・とおく。

このとき、ある自然数 N が存在して、次が成り立つ。

(*) {0}<W<W<・・・<W=V

この(*)を 『 φによる列 』 と呼ぶことにする。

証明

明らかである。(※Z13)

Z24

φ:V→V を巾零変換とする。

<W<・・・<W=V を φ による列とする。

=dimW、d=dimW−dimWi−1 ( 2≦i≦N ) とおく。

このとき、次が成り立つ。

(*) d+・・・+d=dimV

証明

明らかである。(※Z23)

Z25

φ:V→V を巾零変換とする。

<W<・・・<W=V を φ による列とする。

=dimW、d=dimW−dimWi−1 ( 2≦i≦N ) とおく。

i−1 を Wi−1 の基底とする。

i−2 を Wi−2 の基底とする。

いま、ある M⊂W が存在して、Ei−1∪M が W の基底となる。(※Z24)

( つまり、M は d 個の元から成る )

このとき、次が成り立つ。

(1) M∪φ(M)∪・・・∪φi−1(M)は1次独立である。

(2) Ei−2∪φ(M)は1次独立である。

(3) φ(M)⊂Wi−1−Wi−2

(4) di−1≧d

補足

図示すると、

(1)の証明

={ v、・・・、vdi } とおく。

いま、



次のようにおく。



(*)の両辺を φi−1 で写すと、



よって、



いま、M={ v、・・・、vdi } は Wi−1 に属さない。

よって、c1j=0 ( 1≦j≦d ) である。

次に、(*)の両辺を φi−2 で写すと、



上と同様の議論により、c2j=0 ( 1≦j≦d ) である。

以上の議論を繰り返せばよい。

(2)の証明

={ v、・・・、vdi } とおく。

i−2={ w、・・・、w } とおく。

次のようにおく。



両辺を φi−2 で写すと、



いま、w∈Wi−2 であるから、φi−2(w)=0 である。

よって、



よって、(1)と同様に、a=0、・・・、adi=0 である。

よって、(*)より、b=0、・・・、b=0 である。

(3)の証明

明らかである。

(4)の証明

(3)より明らかである。

Z26 ( ジョルダン図式 )

φ:V→V を巾零変換とする。

<W<・・・<W=V を φ による列とする。

=dimW、d=dimW−dimWi−1 (2≦i≦p)とおく。

このとき、次の手順によって V の基底を構成できる。

(*) W−Wp−1 の1次独立な部分集合 M を選ぶ。

(*) Wp−1−Wp−2 の1次独立な部分集合 Mp−1 を選ぶ。

・・・

(*) W の基底 M を選ぶ。

詳しくは証明を参照。

補足

図示すると、



φ(M)や φp−1(M)は1次独立である。(※Z25)

証明

を W−Wp−1 の基底とする。

いま、φ(M)⊂Wp−1 である。

p−2 を Wp−2 の基底とする。

いま、Ep−2∪φ(M)にベクトルの集合 F を追加して、Wp−1 の基底となるようにできる。

∪φ(M)∪F が1次独立であることを示せば証明が終わる。(★)



={ v、・・・、v } とおく。

F={ w、・・・、wp−1−d } とおく。

次のようにおく。



両辺を φp−1 で写すと、



よって、



いま、M={ v、・・・、v } は、Wp−1 には属さない。

よって、a=0 である。

よって、(*)より、b=0、c=0 である。

これで(★)が示された。