雑記(教科書について)

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数学書に対して、

「 図がないと分からない。もっと図を使って説明してほしい 」

・・・という要望が出ることは多い。

たしかに、図を載せれば直観的にも分かり易くなりそうだし、良いことづくしように思える。

しかし、数学書に多くの図を載せることは適切ではない。

そもそも、「 図がないと分からない 」 とはどういうことだろうか?

これは裏返すと、「 文章だけでは理解できない 」 ということだ。

つまり、論理的には理解していない可能性が高い。

そのような人間に図を与えた場合、誤った解釈をする可能性が高い。

イメージだけが先行し、論理的な理解を阻害する。

また、初等的な線形・微積の書物では図で描けるような内容のみを扱っていることも原因かもしれない。

n次元の線形代数、位相空間論などを学べば分かると思われるが、

実は、図に固執しない方が理解しやすくなる場面も多い。

必要以上に図にこだわる性分はなるべく早めに脱却するべきなのである。

そして、もう1つの大きな理由は、

「 図やイメージを数学書に載せてしまうと、新しいアイディアが生まれる可能性をつぶしてしまう恐れがある 」

・・・ということである。

読者自身が考えてもらうことによって、著者よりも自分に合ったものを描ける可能性もあるはず。

教科書に予備情報を載せることによって、そうした各人の独自のアイディアをつぶすべきではない。

むろん、『 図=悪 』 というわけではない。

極端に 「 図がないから分からない 」 と理由を付けて思考停止するのはよくないという話である。

この手の思考停止はその人が本来もっているはずの理解力まで奪ってしまうからである。

教員側としても、そういう直感的なことを書いた方が人気が出ることは分かっている。

読者の想像力を潰したくないので、あえて書かないのである。

2000年前から科学者が安易に直感的な方法を書かないことにはそうした理由があると言えるだろう。

ところが、最近は本の出版が発達し、利益と絡むようになってきた。

これによって、学生ウケを狙った直感的な本が増えた。

とくに、副読本の類では、

「 教科書って分かりにくいよね?あれは教員の頭が固いからなんだ。自分が分かりやすく教えてあげるよ! 」

・・・という具合に、学生の心を煽る人も多い。

厄介なことに、この手の本はネット上で称賛されやすい。

「 直観は大事である 」 と主張する数学者や物理学者は普通にいる。

それに賛同する人も普通にいる。

個人的にも、この意見に反対するつもりはない。

ただし、おそらく、賛同しているかなりの人間が 『 直観 』 と 『 直感 』 を混同しているように思う。

そして、この2つの言葉の意味は異なる。

「 直観的に分かりやすく説明してほしい 」 という学生は割と多いと思うが、

その真意は 「 数式とか考えたくないから図で何となく分かるように説明してほしい 」 である場合が多い。

これは 『 直観 』 ではなくて 『 直感 』 であろう。

『 直感 』 は論理の手前にあるのかもしれない。

『 直観 』 は論理を超えた先にあるのかもしれない。

『 必要なために行う詳細な説明 』 と 『 回りくどいだけで分かりにくい説明 』 は別物である。

しかし、世間では両者が混同されていることが甚だしく多い。

教科書の説明は必要なために行う詳細な説明である。

基本的に、教科書に無駄な説明を載せることはない。

「 教科書はもっとこうするべきだ 」 という意見はよくある。

例えば、

「 定理の動機付けがあった方がいい 」 とか、

「 最後にまとめがあった方がいい 」 とか、

「 教科書は分かっていることしか載せない。解明されていないことも載せるべきだ 」 とか、

「 もっと最先端の内容も載せるべきだ 」 とか、

「 何に役立っているか、どんな応用があるか載せるべき 」 とか、

「 数学だけじゃなくて、物理的な意味も書いてほしい 」 とか、

色々な意見がある。

しかし、簡単そうに見えて、実際に作ろうとすると難しい。

あるいは、一見だけでは分からない障害がある。

あるいは、そもそも何の効果もない場合がある。

蜃気楼のようなものである。

作れそうに思えるかもしれないが、作れない。

あるいは、作ってみると意外とつまらないものができる。

例えば、定理の動機付けがあるとよい場合もあるが、すべてに付けるわけにもいかない。

実際のところ、サッサと本題に入った方がよい定理がほとんどであろう。

その教科書を特徴づけるほどまでに多量に書くと、逆に煩わしくなる。

結局、動機付けを書くとしても、せいぜい5個だけになるのだ。

それは普通の教科書と同じである。

無理に上の案を、特徴的と呼べるほどまでに実行するとゴテゴテした教科書ができあがる。

コンパクトにまとめようとするとシステムが複雑になる。

最終的に、

「 やっぱり教科書はシンプルな方がいいな。自分の考えに集中できる 」

・・・という結論に達するのではないかと思う。

残念ながら、「 教科書はもっとこうした方がいい 」 論は絶えない。

むろん、望むことは自由なのだが、裏返せば、いまの教科書に対する不満である。

このような理想や不満が肥大化すれば、本来の理解を鈍らせる。

ちなみに、2010年頃にゲーム機による学習が流行した。

当時はゲームソフトのコーナーに学習ソフトが並んでいた。

しかし、2015年になると、ブームは終了した。

みんな飽きたのだろう。

また、成績向上という意味で何も成果がなかった。

もし効果があったのだとすれば、そのまま各教育機関で採用されるであろう。

ゲームによる学習は全滅した。

しかし、当時は売れたのである。

多くの人が 「 ゲームならばできるようになるかも 」 と考えて購入したのであろう。

「 教科書はああした方がいい、こうした方がいい 」 という教員もいる。

そのような教員を見る度に 「 あなたが書けばいいのに 」 といつも思う。

書かない人に限って 「 こうした方がいい 」 と言う。

この差は、実際に作った人にしか分からない困難・事情があることによる。

世間に出てくる教科書改良案のほとんどは、真剣に考えれば、そのほとんどが無意味である。

最近(2016年)は、タブレットが普及しつつある。

これによって教科書が大きく変わるかのように言う人もいる。

しかし、成績向上という意味では限定的であると思われる。

ただし、個人的には、次のことだけは期待している。

(1) 英語のリスニング

(2) 人工知能などによる最下層のサポート

やはり、英語のリスニングだけはいままでの媒体では難しい。

聞くだけならば音楽と同様にできるが、文字と音声を同時に表示することはタブレットの利点であろう。

また、基本的な計算(1次方程式など)の解説は人工知能でサポートできるであろう。

このような基礎の習熟は学校や塾では難しい。

例えば、1次方程式の解法を教えても、生徒は時間が経過すると忘れてしまう。

これを宿題などで補助することはできるが、これは難しい。

もしかしたら、「 そんなに難しいだろうか? 」 と考える人がいるかもしれないが、本当に難しい。

これは私が大学生のときにした塾講師のバイトで身に染みて感じたことである。

また、色々な生徒を見ていると、やはり学校に追い付いていない生徒も割といるようだ。

その根本的な原因は、教員と生徒が接する時間が少ないからである。

家庭に勉強を教えることができる親がいればよいが、そうでない場合は救いあげることが極めて難しい。

この類のことに人工知能は役立つのではないかと予想する。

一方、それ以外のことに大きな効果があるとはあまり思えない。

タブレット普及の中に、かつてのゲーム学習ブームに近いものがあるように思える。

この辺りは過剰な期待が混ざっているように思える。

初級者向けの書物は、細部が曖昧に書かれていることが多い。

この意味で、初級者向けの書物が 「 分かりやすい 」 というのは間違いである。

例えば、ベクトル空間が理解できない学生がいるとする。

このとき、

「 初級者向けの教科書で分からなかったのだから、もっと簡単な本を探そう 」

・・・と考えてしまう人がいる。

どうやら、

「 専門書は小難しくしているだけで、実は簡単に理解できる方法があって、副読本や超入門を読めば理解できる 」

・・・と考えてしまうようである。

しかし、ベクトル空間は、専門的な書物で体系的に理解することで初めて分かるものである。

あるいは、他分野を通して、初めて理解できるものである。

例えば、代数学や関数解析などで、群論、環論、完全性などを学ぶことで視野が広がり、

そこに到達したときに、「 ああ、ベクトル空間というのはこういう位置づけなのか 」 と分かる。

なので、副読本や超入門ばかりを読んでも永遠に理解できない。

むろん、3次元空間や2次元空間を例に出すことでベクトル空間の理解を深めることはできる。

ただし、特殊な具体例 『 のみ 』 で満足し、

「 これだよこれ!最初からこれで説明してくれればいいのに。教科書は面倒な書き方しやがって 」

・・・と考えることは早計である。

これはベクトル空間を理解したのではなくて、別の概念に類推して納得した気分になっているだけである。

例えば、有界閉区間上の連続関数全体がベクトル空間であることを理解しないと意味がない。

『 開集合の公理 』 や 『 ベクトル空間の公理 』 に対して 「 難しい。分からない 」 と言う学生は多い。

ただ、この 「 分かる・分からない 」 という言葉には注意しなければならない。

この言葉には 「 意味が分かる 」 と 「 背景が分かる 」 という2つの言葉が混同されているように思う。

しかし、これらは明確に区別するべきものである。

書いてあることを字義通りに理解することは、落ち着いて考えれば誰にでもできることである。

一方、定義・定理を読んだだけでその背景まで理解できる人間は少ない。

例えば、開集合の公理を読んだだけで、位相の役割まで見通す人間は天才である。

ところが、天才でしか掴めないような背景まで最初から手に入れようとする人が多いように思える。

結果、目の前の文章にさえ集中していない。

目の前の論理を放置して 『 直観 』 や 『 イメージ 』 など、なにか別のところを向いているような印象がある。

たしかに、直観やイメージは大切である。

しかし、まず前提として、目の前の文章を論理的にしっかりと解釈しなければならない。

数学を苦手とする多くの人は、そもそも定義や定理の文章をしっかりと読んでいないように思える。

字義通りに内容を解釈せず、意味を欠落させたり、歪めて読んでしまう。

数学において、まず最初に必要なのは天才的な直観や閃きなどではない。

数学において、まず最初に必要なのは 『 読解 』 である。

特別なことをする必要はない。

ただ書いてあることを字義通りに理解することが重要である。

その点に気を付ければ、集合、位相、解析、線形、代数は決して難しい学問ではない。

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このような問題が生じる原因の1つは、日常と学術書のリズムの違いにあるかもしれない。

日常の言葉は、普通、その場でパッと理解できるものが多い。

マンガでもよいし、ニュースでもよいし、普通の本でもよい。

これらに登場する言葉はその場でパッと理解できてしまう。

たまに深い解釈を必要とするものはあるものの、基本的にはその場でパッと理解できるものである。

一方、数学書は本来からしてそのようなものではない。

パッと理解できる概念はむしろ稀で、どの定義や定理も深くじっくりと考えるべきものであると思う。

数学を苦手とする人は 「 文章はその場でパッと理解できるものである 」 という先入観をもっているのかもしれない。

それゆえ、目の前の文章さえ 『 じっくり 』 と読もうとはしない。

ちなみに、中級者向けのしっかりした書物を1冊だけしっかりと読むと、

他の書物もスラスラ読めるようになるものである。

最初の1冊にかなりの時間がかかってしまうのは、むしろ普通のことである。

市場には初級者向けの書物が圧倒的に多い。

全体の90%は初級者向けの書物であろう。

簡単な内容だけを切り取って解説するから、説明も丁寧にできる。

少ない労力で 『 分かりやすい 』 という評判と 『 教育熱心 』 という評判を手にできるのだ。

さらに、専門書より簡単に売れる。

初心者向けの書物が市場を独占するのは当然であろう。

大学の授業も同様で、単位を楽に取れるようにすると、一気に人気授業になる。

同じ教員であっても、単位の取得基準を変えるだけで、受講者が3人になったり、300人になったりする。

で、何も理解していない外部の人(文科省あたり)が、

「 学生に授業を評価させればいい。良い評価が集まれば、その授業は良い授業だ 」

・・・などと言う。

で、アンケートとって、集計して、疲れる。

授業を準備する時間が減少する。

現在の大学改革で行われていることは、概ね、こんなところである。

いや、大学改革に限らず、どこもそんなものであろう。

上の人間が何も理解せずに効果のない無駄な政策を出して、下の人間が疲れる。

ただし、授業アンケートに一切意味がないというわけではない。

例えば、成績が良い人と悪い人のアンケートを分析すれば、何か導けるかもしれない。

ただ、受講者の人数はかなり大きく変化するし、試験の内容も変化するし、授業の内容も変化する。

こうした中で、意味のあるデータを取り出すことは非常に難しい。

だから、アンケートを取るとしても、そのように分析法を整備してからでないと無駄な仕事が増えるだけ。