理系英語(数学と証明の基本英語)

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参考

英語で論文を書くことを目的とした書物は出ている。

そこには見事な例文が掲載されている。

しかし、見事すぎる場合も多いように思える。

冷静に読んでみれば、もとの日本語の文章さえ思い付かないほど流麗である。

これは英語で論文を書くことが非常に困難であるかのように錯覚させる可能性がある。

ところが、実際には、英語で論文を書くそれ自体は難しいことではない。

最初から闇雲に流麗な文章を書くことを目的としなければよいのである。

そこで、ここではあえて無骨な英語で書く方法を紹介する。

参考

基本的に、数学の英語は Let, Suppose, Denote である。

これだけでかなりのことができるし、証明も書ける。

10分くらいで概ねの感覚は掴めると思う。

早速、やってみるとしよう。

参考

(*1) A follow B は 「 A が B に従う 」 である。つまり、A が結論である。

(*2) B is followed by A は、上文の受け身だから、こちらも A が結論である。

(*3) It follows that A は、A が結論である。

学問全体で follow という用語はよく登場する。

The result follows from corollary 1.2.

系1.2 より、結論を得る。

Immediate consequence of the definitions.

定義より明らかである。

The assertion follows on account of the theory.

主張は定理によって成り立つ。

We denote by B(V,W) the space of continuous linear maps L:V→W.

連続な線形写像 L:V→W のから成る空間を B(V,W) と表す。

We denote by N the set of all integers n such that n>0.

n>0 を満たす整数 n 全体から成る集合を と表す。

Let S be a subset G such that there exists x∈G for which S=Hx.

S を G の部分集合とし、ある x∈G が存在して S=Hx となるとする。

Let f:I→R be a function.

f:I→R を関数とする。

Let V and W be normed spaces.

V、W をノルム空間とする。

Let W be a subspace of a vector space V.

W をベクトル空間 V の部分空間とする。

Suppose f is monotonically increasing on an interval I.

f が区間 I において単調増加であると仮定する。

It is easy to see the conditions are satisfied.

In fact, ・・・

その条件が満たされることは簡単に分かる。

実際、・・・

Theorem ( Rolle's theorem )

Let f:[a,b]→R be continuous on [a,b] and differentiable on (a,b).

Let f(a)=f(b).

Then there exists an x0∈(a,b) with f’(x0)=0

Proof

Let f be constant on [a,b].

Now f’(x)=0 for any x∈(a,b).

Let f be not constant.

Now we may find some x0∈(a,b) with f(x0)≠f(a)(=f(b)).

WLOG let f(x)>f(a).

By theorem1.1, the continuous function f assumes its maximum at some x1∈[a,b].

For a maximum point, we must have f(x1)≧f(x0)>f(a)=f(b).

Hence we have x1∈(a,b).

Since f is differentiable on (a、b), theorem1.2 implies f’(x1)=0.

定理 ( ロルの定理 )

f:[a,b]→ は [a,b] 上で連続、(a,b) 上で微分可能であるとする。

f(a)=f(b) とする。

このとき、ある x0∈(a,b) が存在して、f’(x0)=0 となる。

証明

f が [a,b] 上で定値であるとする。

いま、任意の x∈(a,b) に対して f’(x)=0 である。

f が定値でないとする。

いま、ある x0∈(a,b) が存在して、f(x0)≠f(a)(=f(b))となる。

ここで、f(x0)>f(a) としても一般性を失わない。( WLOG は 「一般性を失わない」 という意味をもつ )

定理1.1より、連続関数 f はある x1∈[a,b] で最大値をとる。

最大値をもつ点では f(x1)≧f(x0)>f(a)=f(b) である。

よって、x1∈(a,b) である。

f は (a,b) 上で微分可能なので、定理1.2より f’(x1)=0 である。