理系英語(微分積分)

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Note ( Calculus )

Calculus is the branch of mathematics studying the change of continuous quantity.

参考 ( 微分積分学 )

微分積分学は連続量の変化を調べる数学の分野である。

Definition ( R, N )

We denote by R the set of all real numbers.

We denote by N the set of all positive integers.

定義 ( R, N )

実数全体から成る集合を と表す。

自然数全体から成る集合を と表す。

Definition ( Open interval )

Let a<b.

Define (a,b)={ x∈R : a<x<b }.

Then (a,b) is called an open interval.

That is, the open interval (a,b) does not contain the endpoints a and b.

Let (a,∞) denote the set of all x such that a < x.

定義 ( 開区間 )

a<b とする。

(a,b)={ x∈R : a<x<b } と定義する。

このとき、(a,b) を 『 開区間 』 という。

つまり、開区間は端点を含まない。

a<x を満たす x 全体を(a、∞)と表す。

Definition ( Upper bound )

Let A be a subset of R.

Suppose there exists a real number M such that x≦M for any x∈A.

Then A is said to be bounded above.

And M is called upper bound of A.

Definition ( 上界 )

A を の部分集合とする。

ある実数 M が存在して、任意の x∈A に対して x≦M となるとする。

このとき、「 A は上に有界である 」 という。

また、M を A の 『 上界 』 という。

Definition ( Lower bound )

Let A be a subset of R.

Suppose there exists a real number L such that L≦x for any x∈A.

Then A is said to be bounded below.

And L is called lower bound of A.

Definition ( 下界 )

A を の部分集合とする。

ある実数 L が存在して、任意の x∈A に対して L≦x となるとする。

このとき、「 A は下に有界である 」 という。

また、L を A の 『 下界 』 という。

Definition ( Bounded )

Let A be a subset of R.

Suppose A is bounded above and bounded below.

Then A is said to be bounded.

Definition ( 有界 )

A を の部分集合とする。

A は上に有界かつ下に有界であるとする。

このとき、「 A は有界である 」 という。

Definition ( Supremum )

Suppose there exists a real number c with the following conditions.

(*1) c is an upper bound of A.

(*2) If ξ<c, then ξ is not an upper bound of A.

Then c is called the supremum of A, and is denoted by supA.

定義 ( 上限 )

ある実数cが存在して次の条件を満たすとする。

(*1) cはAの上界である。

(*2) ξ<c ならば、ξはAの上界ではない。

このとき、c を 『 A の上界』 といい、c を supA と表す。

Definition ( Limit of a sequence )

Let (an) be a sequence of real numbers.

Suppose there is a real number a with the folloing conditions.

(*) For every ε>0 there is a natural number N such that n≧N implies that |an−a|<ε

Then (an) is said to converge to a.

And a is called the limit of (an).

And we write an→a, or limn→∞an=a.

Definition ( 数列の極限 )

(an) を実数列とする。

ある実数が存在して次の条件を満たすとする。

(*) 任意のε>0に対し、ある自然数 N が存在して |an−a|<ε を満たす。

このとき、「 (an) は a に収束する 」 という。

また、a を 『 (an) の極限 』 という。

また、 an→a あるいは imn→∞an=a と表す。

Theorem

Suppose (an) converges to a and an≦b for all n.

Then a≦b.

Proof

Suppose a>b. ( proof by contradiction )

Let ε=a−b.

Now there exists a natural number N such that |an−a|<ε whenever n≧N.

Hence, a−an<a−b whenever n≧N.

Hence, an>b whenever n≧N.

This contradicts our supposition.

Hence, we have a≦b.

Theorem

(an) は a に収束するとし、任意の n に対して an≦b であるとする。

このとき a≦b である。

証明

a>b と仮定する。(背理法)

ε=a−b とおく。

いま、ある自然数 N が存在して、n≧N ならば |an−a|<ε となる。

よって、n≧N ならば a−an<a−b である。

よって、n≧N ならば an>b である。

これは仮定に矛盾する。

よって、a≦b である。

Theorem ( Bolzano-Weierstrass theorem )

Let (an) be a bounded sequence.

Then there exists a subsequence that converges.

Theorem ( ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理 )

(an) を有界数列とする。

このとき、収束する部分数列が存在する。

Definition ( Disverge of a sequence )

Let (an) be a sequence.

Suppose, for any M>0, there exists a natural number N such that an>M whenever n≧N.

Then we write limn→∞an=∞.

And (an) is said to disverge.

定義 ( 数列の発散 )

(an) を数列とする。

任意の M>0 に対し、ある自然数 N が存在して、n≧N ならば an>M となるとする。

このとき、limn→∞an=∞ と表す。

また、「 (an) は発散する 」 という。

Definition ( Cauchy sequence )

Let (an) be a sequence of real numbers.

Suppose an−am→0 as n,m→∞.

Then (an) is called a Cauchy sequence.

定義 ( コーシー列 )

(an) を実数列とする。

n,m→∞ のとき an−am→0 であるとする。

このとき、(an) を 『 コーシー列 』 という。

Theorem

Let (an) be a sequence of real numbers.

Then (an) converges if and only if it is a Cauchy sequence.

定理

(an) を実数列とする。

このとき、(an) がコーシー列であるとき、またそのときに限り、(an) は収束する。

Definition ( Domain, Range )

Let f be a real-value function defined on an interval I.

Then I is called the domain of f.

And the set f(I) is called the range of f.

Definition ( 定義域、値域 )

f を区間 I 上で定義された実数値関数とする。

このとき、I を 『 f の定義域 』 という。

また、集合 f(I) を 『 f の値域 』 という。

Definition ( Monotonically increasing )

Let f be a real-value funciton defined on an interval I.

Then f is said to be monotonically increasing on I, if x1<x2 implies f(x1)≦f(x2).

And f is said to be monotonically discreasing on I, if x1<x2 implies f(x1)≧f(x2).

And f is said to be strictly monotonically increasing on I, if x1<x2 implies f(x1)<f(x2).

And f is said to be strictly monotonically discreasing on I, if x1<x2 implies f(x1)>f(x2).

定義 ( 単調増加 )

f を区間 I 上で定義された実数値関数とする。

このとき、x<x ならば f(x)≦f(x) であるとき 「 f は単調増加である 」 という。

また、x<x ならば f(x)≧f(x) であるとき 「 f は単調減少である 」 という。

また、x<x ならば f(x)<f(x) であるとき 「 f は狭義単調増加である 」 という。

また、x<x ならば f(x)>f(x) であるとき 「 f は狭義単調減少である 」 という。

Definition ( Inverse function )

Let f be a real-value function defined on I.

Suppose f is strictly monotonic on I.

Now there exists a unique x∈I such that y=f(x) for each y∈f(I).

The x is denoted by f−1(y).

Now f−1 is a function defined on f(I).

Then f−1 is called the inverse funciton of f.

定義 ( 逆関数 )

f を区間 I 上で定義された実数値関数とする。

f は I 上で狭義単調であるとする。

いま、任意の y∈f(I) に対して y=f(x) を満たす x∈I が一意に存在する。

この x を f−1(y) と表す。

いま、f−1 は f(I) で定義された関数である。

このとき、f−1 を 『 f の逆関数 』 という。

Definition ( sin−1

The inverse funciton of sinx is denoted by sin−1 or arcsinx.

定義 ( sin−1

sinx の逆関数は sin−1 または arcsin と表される。

Definition ( Composition of functions )

Let f be a real-value function defined on an interval I.

Let g be a real-value funciton defined on an interval J such that f(I)⊂J.

Then we define g*f(x)=g(f(x)).

And g*f is called the composition of f and g.

Definition ( 関数の合成 )

f を区間 I 上で定義された実数値関数とする。

g を区間 J 上で定義された実数値関数とし、J は f(I) を満たすとする。

このとき、g*f(x)=g(f(x)) と表す。

また、g*f(x) を 『 f と g の合成 』 という。

Definition ( Limit of a funcition )

Let f be a real-valued funciton defined on an interval I.

Suppose a∈I.

Suppose the following condition.

(*) For each ε>0, there exists δ>0 such that |f(x)−b|<ε whenever 0<|x−a|<δ.

Then we write limx→af(x)=b.

Definition ( 関数の極限 )

f を区間 I 上で定義された実数値関数とする。

a∈I とおく。

次の条件を仮定する。

(*) 任意の ε>0 に対し、ある δ>0 が存在して 0<|x−a|<δ ならば |f(x)−b|<ε となる。

このとき、limx→af(x)=b と表す。

Theorem

Let f be a real-value funciton defined on an interval I.

Suppose a∈I.

Then the following statements are equivalent.

(1) limx→af(x)=b

(2) f(a+0)=f(a−0)=b

定理

f を区間 I 上の実数値関数とする。

a∈I とおく。

このとき、次は同値である。

(1) limx→af(x)=b

(2) f(a+0)=f(a−0)=b

Definition ( Continuous of a function )

Let f be a real-value funciton defined on an interval I.

f is said to be continuous at a∈I if limx→af(x)=f(a).

f is said to be continuous on I if f is continuous at every point in I.

f is said to be discontinuous at a∈I if f is not continuous at a.

定義 ( 関数の連続性 )

f を区間 I 上の実数値関数とする。

limx→af(x)=f(a) であるとき、「 f は a で連続である 」 という。

f が I 上の各点で連続であるとき、「 f は I 上で連続である 」 という。

f が a で連続でないとき、「 f は a で不連続である 」 という。

Definition ( Differentiation in one variable )

Let f be a real-valued function on I.

Suppose a∈I.

Suppose there exists the following limit.



Then f is said to be differentiable at a.

And the limit (*1) is called the derivative of f at a.

And is denoted by f'(a).

Let h=x−a.

Then (*1) can be written

That is, the derivative of f at a means the instantaneous rate of change of f at a.

定義 ( 1変数の微分 )

f を区間 I で定義された実数値関数とする。

a∈I とおく。

次の極限が存在するとする。



このとき、f は a において微分可能であるという。

また、極限(*1)を 『 f の a における微分 』 という。

また、これを f’(a) と表す。

h=x−a とおく。

このとき、(*1)は次のように表される。

つまり、f の a における微分は、a における f の変化の瞬間的な速さを意味する。

Theorem ( Rolle's theorem )

Suppose f is continuous on the closed interval [a,b].

Suppose f is differentiable on the open interval (a,b).

Supose f(a)=f(b)=0.

Then there is a point ξ∈(a,b) such that f'(ξ)=0.

定理 ( ロルの定理 )

f は閉区間 [a、b] で連続であるとする。

f は開区間 (a、b) で微分可能であるとする。

f(a)=f(b)=0 と仮定する。

このとき、あるξ∈(a、b) が存在して f’(ξ)=0 となる。

Theorem ( Max-min theorem )

Let f be continuous on a bounded closed interval I.

Then there exists α,β∈I such that f(β)≦f(x)≦f(α) for any x∈I.

定理 ( 最大値・最小値の定理 )

f を有界閉区間 I 上の連続関数とする。

このとき、ある α、β∈I が存在して、任意の x∈I に対して f(β)≦f(x)≦f(α) となる。

Theorem ( Intermediate value theorem )

Let f be continuous on a bounded closed interval I.

Suppose f(a)<f(b).

Suppose f(a)<ξ<f(b).

Then there exists c ( a<c<b ) such that f(c)=ξ.

定理 ( 中間値の定理 )

f を有界閉区間 I 上の連続関数とする。

f(a)<f(b) とする。

f(a)<ξ<f(b) とおく。

このとき、ある c ( a<c<b ) が存在して f(c)=ξ となる。

Definition ( Relative maxmum )

Suppose f(x0)≧f(x) for any x in some open interval containing x0.

Then a function f is said to have a relative maximum at x0.

定義 ( 極大値 )

を含む開区間上で、任意の x に対して f(x) となるとする。

このとき、「 関数 f は x で極大値をもつ 」 という。

Theorem ( Chain rule )

Suppose f is differentiable on an open interval I.

Suppose g is differentiable on an open interval J.

Let f(I)⊂J.

Then g*f is differentiable on I.

And (g*f)'(x)=g'(f(x))f'(x).

The above equality is expressed by

定理 ( チェイン・ルール )

f は開区間 I 上で微分可能であるとする。

g は開区間 J 上で微分可能であるとする。

f(I)⊂J であるとする。

このとき、g*f は I 上で微分可能である。

また、(g*f)’(x)=g’(f(x))f’(x) である。

上の等式は次のように表される。

Theorem ( Mean value theorem )

Let f be a continuous function on [a,b].

Then there is a point ξ∈(a,b) such that

定理 ( 平均値の定理 )

f を [a、b] 上の連続関数とする。

このとき、ある点 ξ∈(a、b) が存在して次を満たす。

Theorem ( Taylor's theorem )

Let f be an n times differentiable funciton on an interval I.

Then for a,x∈I, there is a point ξ between a and x such that

In case n=1, Taylor's theorem coincides with the mean value theorem.

In the above theorem, define



The function Rn(x) is called the remainder of order n.

In case a=0, (*) is called Maclaurin's formula.

定理 ( テイラーの定理 )

f を区間 I 上で n 回微分可能な関数とする。

このとき、a、x∈I に対し、あるξが a と x の間に存在して次を満たす。

n=1 の場合、テイラーの定理は平均値の定理に一致する。

上の定理において、次のように定義する。



この関数 R を 『 n次剰余項 』 という。

a=0 の場合、(*)を 『 マクローリンの公式 』 という。

Theorem

Let f be a C function on an open interval I containing a.

Suppose limn→∞Rn(x)=0 for any x∈I.

Then

(*) is called the Taylor series generated by f at x=a.

In case a=0, (*) is called the Maclaurin series generated by f.

定理

f を、点 a を含む区間 I 上の C 関数とする。

任意の x∈I に対して limn→∞(x)=0 であるとする。

このとき、

(*)を 『 x=a を中心とする f のテイラー級数 』 という。

a=0 の場合、(*)を 『 f のマクローリン級数 』 という。

Theorem ( Mean value theorem for definite integrals )

Suppose f is continuous on [a,b].

Then there exists ξ ( a≦ξ≦b ) such that

定理 ( 積分に関する平均値の定理 )

f は [a、b] 上で連続であるとする。

このとき、ある ξ ( a≦ξ≦b ) が存在して次を満たす。

Theorem ( Fundamental theorem of calculus )

Let f be an integrable function on [a,b].

Suppose there is a differentiable function F on [a,b] such that F'=f.

Then

定理 ( 微分積分学の基本定理 )

f を [a、b] 上の可積分関数とする。

[a、b]上で可積分な関数 F が存在して、F’=f であるとする。

このとき、

Theorem ( Integration by parts )

Let f and g be C1 functions on [a,b].

Then

定理 ( 部分積分 )

f を区間 [a、b] 上の C 関数とする。

このとき、

Theorem ( Integration by substitution )

Let f be a continuous function on [a,b].

Suppose φ is a C1 function on [α,β].

Suppose φ satisfies a≦φ(t)≦b,φ(α)=a,φ(β)=b.

Then

定理 ( 置換積分 )

f を区間 [a、b] 上の連続関数とする。

φを [α、β] 上の C 関数とする。

φは a≦φ(t)≦b,φ(α)=a,φ(β)=b を満たすとする。

このとき、

Definition ( Improper integrals )

Let f be a bounded function on the interval [a,∞).

Suppose f is integrable on [a,c] for any real number c with c>a.

Suppose there exists the following limit.



Then f is said to be integrable on [a,∞).

And define

定義 ( 広義積分 )

f を区間 [a、∞) 上の有界関数とする。

f は c>a を満たす任意の実数値 c に対して [a、c] 上で可積分であるとする。

次の極限が存在するとする。



このとき、「 f は [a、∞) 上で可積分である 」 という。

また、次のように定義する。

Note ( Cycloid )

Suppose a circle C with radius a rolls along the x-axis.

Let P be a fixed point on C.

Let Γ be the path traced by the point P.

Then the path Γ is called a cycloid.

参考 ( サイクロイド )

半径 a の円 C x 軸上で転がすとする。

P を、円 C 上に固定された点とする。

Γを、点 P の軌跡とする。

このとき、軌跡Γは 『 サイクロイド 』 と呼ばれる。