理系英語(代数学)

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Note ( Abstract algebra )

Abstract algebra is the branch of mathematics studying algebraic structures.

参考 ( 代数学 )

(抽象)代数学は代数構造を研究する数学の分野である。

Definition ( Group )

Let G be a set.

Let * be an associative binary operation on G.

Suppose there exists e∈G such that a*e=a for any a∈G.

Suppose, for any a∈G, there exists a−1∈G such that a*a−1=e.

Then the pair (G,*) is called a group.

And the element e is called the identity of G.

And the element a−1 is called the inverse of a.

When there is no danger of misunderstanding, the element a*b will be denotede by ab.

定義 ( 群 )

G を集合とする。

* を G の2つの元の間に定義される演算とする。

ある e∈G が存在して、任意の a∈G に対して a*e=a となるとする。

任意の a∈G に対し、a−1∈G が存在して、a*a−1=e となるとする。

このとき、組 (G、*) を 『 群 』 という。

また、元 e を 『 G の単位元 』 という。

また、a−1 を 『 a の逆元 』 という。

誤解の恐れがない場合、元 a*b を ab と表す。

Definition ( Permutation )

Let A be a set.

Then a 1-1 mapping from A onto A is called a permutation of A.

The set of all permutation of A is denoted by Sym(A).

定義 ( 置換 )

A を集合とする。

このとき、A から A への全単射を 『 A の置換 』 という。

A の置換全体から成る集合を Sym(A) と表す。

Theorem

Sym(A) is a group for any set A.

Supplement

The group Sym(A) is called the symmetric group on the set A.

定理

任意の集合 A に対して Sym(A) は群である。

補足

群 Sym(A) を 『 A上の対称群 』 という。

Definition ( Right coset )

Let H be a subgroup of a group G.

Let S be a subset G such that there exists x∈G for which S=Hx.

Then S is called a right coset of H.

Left coset is defined similarly.

定義 ( 右剰余類 )

H を群 G の部分群とする。

S を G の部分集合とし、ある x∈G が存在して S=Hx となるとする。

このとき、S を 『 H の右剰余類 』 という。

左剰余類も同様に定義される。