理系英語(位相空間)

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Note ( General topology )

General topology is the branch of mathematics studying "closeness" on spaces.

参考 ( 位相空間論 )

位相空間論は数学の分野であり、空間における 『 近さ 』 を研究する。

Definition ( Metric space )

Let X be a set.

Let d(x,y) a real function defined for any x,y∈X.

Suppose d has the following conditions.

(*1) d(x,y)≧0 ( d(x,y)=0 ⇔ x=y )

(*2) d(x,y)=d(y,x)

(*3) d(x,z)≦d(x,y)+d(y,z)

Then d is called a distance.

And a pair (X,d) is called a metric space.

That is,

(**1) d is nonnegative, and d(x,y)=0 if and only if x=y.

(**2) Symmetry

(**3) Triangle inequality

定義 ( 距離空間 )

X を集合とする。

d(x、y) を、任意の x、y∈X に対して定義された実数値関数とする。

d は次の条件を満たすとする。

(*1) d(x,y)≧0 ( d(x,y)=0 ⇔ x=y )

(*2) d(x,y)=d(y,x)

(*3) d(x,z)≦d(x,y)+d(y,z)

このとき、d を 『 距離 』 という。

また、組 (X、d) を 『 距離空間 』 という。

つまり、

(**1) d は非負である。また、f(x、y)=0 であるとき、またそのときに限り x=y である。

(**2) 対称性

(**3) 三角不等式

Definition ( Euclidean space )

Define d by the following formula for each ordered n-tuples x=(x1,・・・,xn) of real numbers x1,・・・,xn,



Then all ordered n-tuples is a metric space.

And is denoted by Rn.

And is called n-dimensional Euclidean space.

定義 ( ユークリッド空間 )

実数 x、・・・、x から成る順序組 (x、・・・、x) に対し、d を次式によって定義する。



このとき、順序づけられた n-組全体は距離空間である。

また、これを と表す。

また、これを 『 n次元ユークリッド空間 』 という。

Definition ( Topological space )

Let X be a set.

Let O be a family of subsets of X.

Suppose O has the following conditions.

(*1) φ,X∈O

(*2) O1,・・・,OnO ⇒ O1∩・・・∩OnO

(*3) OλO for any λ∈J ⇒ ∪λ∈JλO

Then, O is called topology.

And, an element of O is called open set.

And, a pair (X,O) is called a topological space.

That is,

(**1) The set X itself and the empty set φ belong to O.

(**2) Finite intersections of elements of O belong to O.

(**3) Arbitrary ( finite or infinite ) unions of elements of O belong to O.

定義 ( 位相空間 )

X を集合とする。

を X の部分集合族とする。

は次の条件を満たすとする。

(*1) φ,X∈O

(*2) O1,・・・,OnO ⇒ O1∩・・・∩OnO

(*3) OλO for any λ∈J ⇒ ∪λ∈JλO

このとき、 を 『 位相 』 という。

また、 の元を 『 開集合 』 という。

また、組 (X、) を 『 位相空間 』 という。

つまり、

(**1) X 自信と空集合φは に属する。

(**2) の元から成る任意の和集合(有限和でも無限和でもよい)は に属する。

(**3) の元から成る有限共通部分は に属する。

Definition ( open sphere )

Let (X,d) be a metric space.

Let x0∈X.

Denote by S(x0,r) the set of all points x∈X satisfying the inequality d(x0,x)<r.

Then, S(x0,r) is called an open sphere.

定義 ( 開球 )

(X、d)を距離空間とする。

∈X とおく。

d(x、x)<r を満たす点 x∈X 全体から成る集合を S(x、r) と表す。

このとき、S(x、r) を 『 開球 』 という。

Definition ( Interior )

Let X be a metric space.

Let A be a subset of X.

Let a∈A.

Suppose there is r>0 such that S(a,r)⊂A.

Then a is called the interior point of A.

And we denote by Int(A) the set of all interior points of A.

Then Int(A) is called the interior of A.

定義 ( 内部 )

X を距離空間とする。

A を X の部分集合とする。

a∈A とおく。

ある r>0 が存在して S(a、r)⊂A となるとする。

このとき、a を 『 A の内点 』 という。

また、A の内点全体を Int(A) と表す。

このとき、Int(A)を 『 A の内部 』 という。

Definition ( Open set )

Let X be a metric space.

Let A be a subset of X.

Suppose every element of A is an interior point of A.

Then A is said to be open.

And is called an open set.

定義 ( 開集合 )

X を距離空間とする。

A を X の部分集合とする。

A の各元は A の内点であるとする。

このとき、「 A は開である 」 という。

また、A を 『 開集合 』 という。

Definition ( Neighborhood )

Let X be a metric space.

Let P∈X.

Then every open set containing a is called a neighborhood of P.

定義 ( 近傍 )

X を距離空間とする。

P∈X とおく。

このとき、P を含む開集合を 『 P の近傍 』 という。

Definition ( Contact point )

Let X be a metric space.

Let A be a subset of X.

Let P∈X.

Suppose every neighborhoood of P contains at least one point of A.

Then P is called a contact point of A.

定義 ( 触点 )

X を距離空間とする。

A を X の部分集合とする。

P∈X とおく。

P の各近傍は A の点を少なくとも1つ含んでいるとする。

このとき、P を 『 A の触点 』 という。

Definition ( Closure )

The set of all contact points of a set A is denoted by Cl(A).

And is called the closure of A.

定義 ( 閉包 )

A の触点全体を Cl(A) と表す。

また、これを 『 A の閉包 』 という。

Definition ( Closed set )

Let A be a set.

Suppose its complement Ac is open.

Then A is said to be closed.

And A is called a closed set.

定義 ( 閉集合 )

A を集合とする。

A の補集合 A は開であるとする。

このとき、「 A は閉である 」 という。

また、A を 『 閉集合 』 という。

Definition ( Boundary )

The difference Cl(A)−Int(A) is called the boundary of A, and is denoted by Bd(A) or ∂(A).

定義 ( 境界 )

差集合 Cl(A)−Int(A) を 『 A の境界 』 といい、これを Bd(A) または ∂(A) と表す。