理系英語(線形代数)

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Note ( Linear algebra )

Linear algebra has widespread applications in science.

参考 ( 線形代数 )

線形代数は科学において広い応用をもつ。

Definition ( Matrix )

A matrix is a rectangular array of scalars presented in the following form.



Then a horizonal lists of scalars is called a row of A.

And a vertical lists of scalars is called a column of A.

And A is called a matrix of order m×n.

定義 ( 行列 )

次のようなスカラーの長方形配列を 『 行列 』 という。



このとき、横並びのスカラーを 『 A の行 』 という。

また、縦並びのスカラーを 『 A の列 』 という。

また、A を 『 m×n 行列 』 という。

Definition ( Square matrix )

A matrix with equal numbers of row and columns is called a square matrix.

For a square matrix of order n×n, the elements a11,a22,・・・,ann are called the diagonal elements.

定義 ( 正方行列 )

行と列が等しいを行列を 『 正方行列 』 という。

n×n 正方行列に対し、その要素 a11,a22,・・・,ann を 『 対角要素 』 という。

Definition ( Zero matrix )

A matrix whose elements are all zero is called a zero matrix.

A zero matrix of order m×n is denoted by Om×n.

定義 ( 零行列 )

全ての要素が 0 である行列を 『 零行列 』 という。

m×n の零行列を 0m×n と表す。

Definition ( Row vector, Column vector )

A matrix consisting of only one row is called a row vector.

A matrix consisting of only one column is called a column vector.

定義 ( 行ベクトル、列ベクトル )

1行のみから成る行列を 『 行ベクトル 』 という。

1列のみから成る行列を 『 列ベクトル 』 という。

Definition ( Product of matrices )

Let A=(aij) be an m×p matrix.

Let B=(bij) be an p×n matrix.

Then the product AB is the m×n matrix whose ij-element is defined by

The product AB is not defined if A is an m×p matrix and B is a q×n matrix, where p≠q.

定義 ( 行列の積 )

A=(aij) を m×p 行列とする。

B=(bij) を p×n 行列とする。

このとき、その積 AB は、その第 ij 要素が次のように定義される m×n 行列である。

p≠q である場合、m×p 行列 A と q×n 行列 B の積 AB は定義されない。

Definition ( Transpose of a matrix )

The transpose of a matrix A is the matrix obtained by writing the columns of A as rows.

And is denoted by tA or AT.

定義 ( 行列の転置 )

行列 A の列を行として書くことで得られる行列を 『 A の転置行列 』 という。

また、それを A または A と表す。

Definition ( Identity matrix )

The identity matrix is the square matrix with 1 on the diagonal and 0 elsewhere.

An identity matrxi of order n×n is denoted by In.

定義 ( 単位行列 )

正方行列で対角成分が1、それ以外の成分が 0 であるものを 『 単位行列 』 という。

n×n 単位行列は I と表される。

Definition ( Inverse matrix )

Let A be an n×n matrix.

Suppose there exists an n×n matrix X such that AX=In.

Then X is called a inverse matrix of A.

定義 ( 逆行列 )

A を n×n 行列とする。

ある n×n 行列 X が存在して、AX=I となるとする。

このとき、X を 『 A の逆行列 』 という。

Definition ( Invertible matrix )

Let A be a square matrix.

Suppose there exists the inverse of A.

Then A is said to be invertible.

定義 ( 正則行列 )

A を正方行列とする。

A の逆行列が存在するとする。

このとき、A を 『 正則行列 』 という。

Definition ( Determinant of a 2×2 matrix )

Let A=(aij) be a 2×2 matrix.

Define det(A)=a11a22−a21a12.

Then det(A) is called a determinant of A.

定義 ( 2×2行列の行列式 )

A=(aij) を2×2行列とする。

det(A)=a11a22−a21a12 と定義する。

このとき、det(A) を 『 A の行列式 』 という。

Theorem

The determinant of a product of two matrices A and B is the product of their determinants.

That is, det(AB)=det(A)det(B).

定理

2つの行列 A と B の行列式は、行列式の積に等しい。

つまり、det(AB)=det(A)det(B) である。

Definition ( Diagonalizable )

Let A be an n-square matrix.

Suppose there exists a invertible matrix P such that B=P−1AP is diagonal.

Then A is said to be diagonalizable.

定義 ( 対角化可能 )

A を n 次正方行列とする。

ある正則行列 P が存在して B=P−1AP となるとする。

このとき、「 A は対角化可能である 」 という。

Definition ( Vector space )

Let V be a nonempty set.

Suppose any two elements x,y∈V uniquely determine an element x+y∈V.

Suppose any number c∈K ( K=R or C ) and any element x∈V uniquely determine an element cx∈V.

Suppose the operation of adition and multiplication satisfy the following conditions.

(*1) x+y=y+x

(*2) (x+y)+z=x+(y+z)

(*3) There exists an element 0∈V such that x+0=x for any x∈V.

(*4) For any x∈V there exists an element −x such that x+(−x)=0.

(*5) c1(c2x)=(c1c2)x

(*6) 1x=x

(*7) (c1+c2)=c1x+c2x

(*8) c(x+y)=cx+cy

Then V is called a vector space.

And x+y is called the sum of x and y.

And cx is called the product of c and x.

And the elements of V are called vectors.

And the numbers c are called scalars.

定義 ( ベクトル空間 )

V を空でない集合とする。

任意の2つの元 x、y∈V に対して元 x+y∈V が一意に定まるとする。

数 c∈K ( K= または ) と元 x∈V に対して元 cx∈V が一意に定まるとする。

これら和と積は次の条件を満たすとする。

(*1) x+y=y+x ( 可換性 )

(*2) (x+y)+z=x+(y+z) ( 結合性 )

(*3) ある元 0∈V が存在して、任意の元 x∈V に対して x+0=x となる。

(*4) 任意の元 x に対してある −x が存在して x+(−x)=0 となる。

(*5) c1(c2x)=(c1c2)x

(*6) 1x=x

(*7) (c1+c2)=c1x+c2x

(*8) c(x+y)=cx+cy

このとき、V を 『 ベクトル空間 』 という。

また、x+y を 『 x と y の和 』 という。

また、cx を 『 c と x の積 』 という。

また、V の要素を 『 ベクトル 』 という。

また、数 c を 『 スカラー 』 という。

Theorem

Define sums and "schalar multiples" by the following formulas.

(*1) (x1,・・・,xn)+(y1,・・・,yn)= (x1+y1,・・・,xn+yn)

(*2) c(x1,・・・,xn)= (cx1,・・・,cxn)

Then the set of all ordered tuples x= (x1,・・・,xn) of real numbers is a vector space.

This space is called n-dimensional space, or simply n-space, denoted by Rn.

定理

和とスカラー倍を次式によって定義する。

(*1) (x1,・・・,xn)+(y1,・・・,yn)= (x1+y1,・・・,xn+yn)

(*2) c(x1,・・・,xn)= (cx1,・・・,cxn)

このとき、実数から成る順序組 (x、・・・、x) 全体の集合はベクトル空間である。

Theorem

Let C[a,b] be the set of all real functions continuous on an interval [a,b].

Suppose C[a,b] has the usual operation of addition of functions and multiplication of functions by numbers.

Then C[a,b] is a vector space.

定理

C[a、b] を区間 [a、b] 上の実連続関数全体の集合とする。

C[a、b] は通常の演算として関数の和と関数の定数倍をもつとする。

このとき、C[a、b] はベクトル空間である。

Definition ( Linear mapping )

Let f be a mapping defined on a vector space V.

Suppose f satisfied the following properties.

(*1) f(x+y)=f(x)+f(y) for any x,y∈V

(*2) f(cx)=cf(x) for any number c

Then, f is called a liner mapping.

定義 ( 線形写像 )

f をベクトル空間 V 上で定義された写像とする。

f は次の条件を満たすとする。

(*1) 任意の x、y∈V に対して f(x+y)=f(x)+f(y) である。

(*2) 任意の数 c に対して f(cx)=cf(x) である。

このとき、f を 『 線形写像 』 という。

Definition ( Linear dependence )

Let x1,・・・,xn be elements of a vector space V.

Suppose there exist numbers c1,・・・,cn not all zero such that c1x1+・・・+cnxn=0.

Then x1,・・・,xn are said to be linear dependent.

定義 ( 線形従属 )

、・・・、x をベクトル空間 V の元とする。

すべてが 0 ではない c、・・・、c が存在して c+・・・+c=0 となるとする。

このとき、「 x、・・・、x は1次従属である 」 という。

Definition ( Linear independence )

Let x1,・・・,xn be elements of a vector space V.

Suppose c1x1+・・・+cnxn=0 implies c1=0,・・・,cn=0.

Then x1,・・・,xn are said to be linear independent.

定義 ( 1次独立 )

、・・・、x をベクトル空間 V の元とする。

+・・・+c=0 ならば c=0、・・・、c=0 であるとする。

このとき、「 x、・・・、x は1次独立である 」 という。

Definition ( Subspaces )

Let W be a nonempty subset of a vector space V.

Suppose W is itself a vector space with the operatiron of addition and multiplication defined on V.

Then W is called a subspace of V.

Clearly, the trivial space consisting of the zero element alone is a subspace of every vector space.

Clearly, V can be regarded as a subspace of itself.

定義 ( 部分空間 )

W を V の部分集合で空でないものとする。

W 自身は V の演算である和と積に関してベクトル空間であるとする。

このとき、W を 『 V の部分空間 』 という。

明らかに、零集合のみから成る自明な集合は任意のベクトル空間の部分空間である。

明らかに、V は自身の部分空間と見なせる。

Definition ( Generated subspace )

Let S be a nonempty subset of a vector space V.

The smallest subspace of V containing S is just intersection of all subspaces containing S.

Then this minimal subspace is called the subspace generated by S.

Clearly, the intersection of subspaces is itself a subspace.

定義 ( 生成される部分空間 )

S をベクトル空間 V の空でない部分集合とする。

V の部分空間で S を含む最小のものは S を含む部分空間全体の共通部分に一致する。

このとき、この最小の部分空間を 『 Sによって生成された部分空間 』 という。

明らかに、部分空間の共通部分は部分空間である。

Definition ( Quotient space )

Let V be a vector space.

Let W be a subspace of V.

Then two elements x,y∈V are said to belong to the same class generated by W if x−y belongs to W.

And, the set of all such classes is called the quotient space of V relative to W.

And is denoted by V/W.

定義 ( 商空間 )

V をベクトル空間とする。

W を V の部分空間とする。

このとき、x−y が W に属するならば 「 x と y は W によって生成された同値類に属する 」 という。

また、そのような類全体から成る集合を 『 W に付く V の商空間 』 という。

また、これを V/W と表す。

Definition ( eigenvector,eigenvalue )

A vector x≠0 satisfying the relation Ax=λx is called an eigenvector of A.

And the number λ is called an eigenvalue of A.

定義 ( 固有ベクトル、固有値 )

Ax=λx を満たすベクトル x≠0 を 『 A の固有ベクトル 』 という。

また、数λを 『 固有値 』 という。

Definition ( Inner product space )

Let V be a vector space.

Let (x,y) be a complex-valued function defined for any pair of elements x,y∈V.

Suppose (・,・) satisfies the following conditions.

(*1) (x,x)≧0 where (x,x)=0 if and only if x=0

(*2) (x,y)=(y,x)

(*3) (cx,y)=c(x,y) ( for any complex c )

(*4) (x,y+z)=(x,y)+(x,z)

Then (・,・) is called an inner product.

And a vector space V equipped with an inner product is called an inner product space.

定義 ( 内積空間 )

V をベクトル空間とする。

(x、y)を、任意の x、y∈V に対して定義された複素数値関数とする。

(・、・) は次の条件を満たすとする。

(*1) (x、x)≧0 また、(x、x)=0 であるとき、またそのときに限り x=0 である。

(*2) (x、y)=(y、x)

(*3) (cx、y)=c(x、y) ( c は任意の複素数 )

(*4) (x、y+z)=(x、y)+(x、z)

このとき、(・、・)を 『 内積 』 という。

また、内積が付いたベクトル空間を 『 内積空間 』 という。

Definition ( Orthogonal )

Let V be an inner product space.

Let x,y∈V.

Suppose (x,y)=0.

Then the vectors x and y are said to be orthogonal.

定義 ( 直交 )

V を内積空間とする。

x、y∈V とおく。

(x、y)=0 であるとする。

このとき、「 x と y は直交する 」 という。

Definition ( Orthogonal system )

Let V be an inner product space.

Let {xα}⊂V be a set of nonzero vectors.

Suppose (xα,xβ)=0 for α≠β.

Then {xα} is said to be orthogonal system.

定義 ( 直交系 )

V を内積空間とする。

{xα}⊂V を零でないベクトルの集合とする。

α≠β に対して (xα、xβ)=0 と仮定する。

このとき、{xα} を 『 直交系 』 という。

Definition ( Orthonomal system )

Let V be an inner product space.

Let {xα}⊂V be a set of nonzero vectors.

Suppose (xα,xβ)=0 for α≠β, (xα,xβ)=1 for α=β.

Then {xα} is said to be orthonormal system.

定義 ( 正規直交系 )

V を内積空間とする。

{xα}⊂V を零でないベクトルの集合とする。

α≠β に対して (xα、xβ)=0 であるとし、α=β に対して (xα、xβ)=1 であるとする。

このとき、{xα} を 『 正規直交系 』 という。

Theorem

The vectors in an orthogonal system are linearly independent.

定理

直交系に属するベクトルは1次独立である。