理系英語(集合論)

サイトのTOP→理系インデックス
理系英語のTOP→理系英語インデックス





Note ( Set theory )

The theory of sets was founded by G.Cantor.

参考 ( 集合論 )

集合の理論は G.カントールによって発見された。

Definition ( Element )

Let A be a set.

We write x∈A to indicate that x is an element of A.

And say that x belongs to A.

定義 ( 元 )

A を集合とする。

x が A の元であることを x∈A と表す。

また、このことを 「 x は A に属する 」 という。

Definition ( Subset )

Let A and B be two sets.

We write A⊂B to indicate that every element of A is also element of B.

And we say that A is included in B.

Or say that A is contained in B.

For example, the set of all integers is a subset of the set of all real numbers.

定義 ( 部分集合 )

A と B を2つの集合とする。

A のすべての元が B の元であるとき、A⊂B と表す。

また、「 A は B に含まれる 」 という。

例えば、整数全体から成る集合は、実数全体から成る集合の部分集合である。

Definition ( Equality of sets )

We write A=B if and only if A⊂B and B⊂A hold.

That is, A=B is meant A and B consist of precisely the same elements.

定義 ( 集合の等号 )

A⊂B かつ B⊂A であるとき、またそのときに限り A=B と表す。

つまり、A=B は A と B が全く同じ元から成ることを意味する。

Definition ( Proper subset )

Let A and B be two sets.

A is called a proper subset of B if A⊂B but A≠B.

定義 ( 真部分集合 )

A と B を2つの集合とする。

A⊂B かつ A≠B であるとき、A を 『 B の真部分集合 』 という。

Definition ( empty set )

The set which has no element is called the empty set and is denoted by φ.

定義 ( 空集合 )

元を含まない集合を 『 空集合 』 といい、これをφで表す。

Definition ( Union of two sets )

Let A and B be two sets.

Then we denote by A∪B, the set consisting of all elements belonging to at least one of sets A and B.

And this set is called an union of A and B.

定義 ( 2つの集合から成る和集合 )

A と B を2つの集合とする。

その元が A と B の少なくとも一方に属する集合を A∪B と表す。

また、これを 『 A と B の和集合 』 という。

Definition ( Intersection of two sets )

Let A and B be two sets.

Then we denote by A∩B, the set consisting of all elements belonging to both A and B.

And this set is called an intersection of two sets.

定義 ( 共通部分 )

A と B を2つの集合とする。

その元が A と B の両方に属する集合を A∩B と表す。

また、これを 『 A と B の共通部分 』 という。

Definition ( disjoint )

Suppose A and B do not have any elements in common.

Then A and B are said to be disjoint.

定義 ( 互いに素 )

A と B は共通の元をもたないとする。

このとき、「 A と B は互いに素である 」 という。

Theorem

The operations ∪ and ∩ are commutative, associative and distributive.

That is,

(1) A∪B=B∪A

(2) A∩B=B∩A

(3) (A∪B)∪C=A∪(B∪C)

(4) (A∩B)∩C=A∩(B∩C)

(5) (A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)

(6) (A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)

定理

演算 ∪ と ∩ は、可換則、結合則、分配則をもつ。

つまり、

(1) A∪B=B∪A

(2) A∩B=B∩A

(3) (A∪B)∪C=A∪(B∪C)

(4) (A∩B)∩C=A∩(B∩C)

(5) (A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)

(6) (A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)

Definition ( Difference between two sets )

We denote by A−B, the set of all elements of A which do not belong to B.

And this is called the difference between A and B.

定義 ( 差集合 )

A の元で B に属さないもの全体を A−B と表す。

また、これを 『 A と B の差集合 』 という。

Definition ( Complement of a set )

We will be concerned with sets which are all subsets of some underlying basic set X.

Then we denote by Ac the difference between X and A.

And this set is called the complement of A.

定義 ( 補集合 )

集合を考えるときに、それらの集合は、背景にある基本的な集合 X の部分集合であるとして考えることがある。

このとき、X と A の差集合を A と表す。

また、この集合を 『 A の補集合 』 という。

Theorem

The complement of a union equals the intersection of the complements.

The complement of an intersection equals the union of the complements.

That is,

(1) X−UAλ∈J=∩λ∈J(X−Aλ)

(2) X−∩Aλ∈J=∪λ∈J(X−Aλ)

定理

和集合の補集合は、補集合の共通部分に等しい。

また、共通部分の補集合は、補集合の和集合に等しい。

つまり、

(1) X−UAλ∈J=∩λ∈J(X−Aλ)

(2) X−∩Aλ∈J=∪λ∈J(X−Aλ)

Definition ( Mapping )

Suppose that to each element of a set X there is associating a unique element of a set Y.

The collection of such association is called a mapping form X into Y.

And is denoted by f:X→Y.

The unique element in Y associating to x∈X by f is denoted by f(x).

And is called the value of f at x.

Or is called the image of f at x.

And the set X is called the domain of f.

定義 ( 写像 )

X の各元に対し、Y の元が一意に対応づけられているとする。

このような対応を 『 X から Y への写像 』 という。

また、これを f:X→Y と表す。

Y の元で x∈X に一意に対応づけられているものを f(x) と表す。

また、これを 『 f の x での値 』 という。

または 『 f の x での像 』 という。

また、集合 X を 『 f の定義域 』 という。

Definition ( Image )

Let f:X→Y be a mapping.

Let A be a subset of X.

Then the set of all elements f(x)∈Y such that x∈X is called the image of A.

And is denoted by f(A).

定義 ( 像 )

f:X→Y を写像とする。

A を X の部分集合とする。

このとき、x∈X である f(x) 全体から成る集合を 『 A の像 』 という。

また、これを f(A) と表す。

Definition ( Preimage )

Let f:X→Y be a mapping.

Let B be a subset of X.

Then the set of all elements of X whose values belong to B is called the preimage of B.

And is denoted by f−1(B).

定義 ( 原像 )

f:X→Y を写像とする。

B を X の部分集合とする。

このとき、X の元で、その値が B に属するもの全体を 『 B の原像 』 という。

また、これを f−1(B) と表す。

ただし、日本では逆像と呼ぶことが多い。

Definition ( One-to-one )

Let f:X→Y be a mapping.

Suppose distinct elements in A have distinct values.

Then f is said to be one-to-one.

定義 ( 1対1 )

f:X→Y を写像とする。

A の異なる元は、異なる値をもつとする。

このとき、「 f は1対1である 」 という。

ただし、日本では単射と呼ぶことが多い。

Definition ( Onto )

Let f:X→Y be a mapping.

Suppose every y∈Y is the value of some x∈X.

Then f is called a mapping from X onto Y

定義 ( 上への写像 )

f:X→Y を写像とする。

各 y∈Y は、ある x∈X の値であるとする。

このとき、f を 『 X から Y の上への写像 』 という。

ただし、日本では全射と呼ぶことが多い。

Definition ( Inverse mapping )

Let f:X→Y be a mapping.

Let f be one-to-one and onto.

Then the inverse relation f−1 is called the inverse mapping.

定義 ( 逆写像 )

f:X→Y を写像とする。

f は1対1であり、上への写像であるとする。

このとき、逆の対応関係を f−1 と表し、これを 『 逆写像 』 という。