関数解析インデックス

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関数解析は 『 線形代数と距離空間の融合 』 である。

4章(閉グラフ定理)・5章(凸解析)・6章(自己共役作用素)は互いにほとんど独立している。

よって、4章と5章を省略して、最初に6章を読むこともできる。

自己共役作用素は量子力学で有用であり、凸解析は最適化問題や経済学で有用である。




第1章(A) 有限次元内積空間

□ ノルム空間
□ 内積空間
□ シュワルツの不等式の応用

□ span、シュミットの正規直交化
□ 完全性(有限ver)

□ ピタゴラスの定理

第2章(B) 無限次元内積空間

□ 完備性〜その1、〜その2、〜その3
□ バナッハ空間、ヒルベルト空間

□ ヘルダーの不等式(関数解析ver)

□ ベッセルの不等式(有限ver)
□ ベッセルの不等式(無限ver)

★ フーリエ級数展開可能性⇔パーセヴァルの等式

□ ヒルベルト空間の直交分解定理
□ 可分なヒルベルト空間

第3章(C) 線形作用素

□ 有界な線形作用素

□ ノイマン級数
□ 双対空間、リースの表現定理

□ 共役作用素
□ 閉作用素

第4章(D) 閉グラフ定理

□ ベールの定理
□ 一様有界性定理→バナッハ・シュタインハウスの定理
□ 閉拡大
□ 開写像定理→閉グラフ定理

第5章(E) 凸解析(線形位相ver)

□ 基本近傍系は位相を定める
□ 線形位相空間において「分離的⇔ハウスドルフ」

□ サポート関数、ミンコフスキ汎関数
□ 局所凸線形位相空間

□ ハーン・バナッハの定理〜ベクトル空間ver
□ 分離定理、超平面〜局所凸線形位相空間ver

第6章(F) 自己共役なコンパクト作用素のスペクトル分解

□ レゾルヴェントとスペクトル
□ 有限次元部分空間は閉集合

□ 有限次元ノルム空間に対する同値条件
□ バナッハ空間におけるコンパクト作用素の固有空間は有限次元
□ バナッハ空間におけるコンパクト作用素の固有値は高々可算

□ 自己共役なコンパクト作用素のスペクトル分解