3つ以上のテンソル積

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Z16 ( Z7の一般化 )

、・・・V、U を K 上のベクトル空間とする。

このとき、次の条件(1)〜(3)が成り立つ。

また、条件(1)、(2)は同値である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

条件(1)

K上のベクトル空間 U と h∈L(V、・・・V;U)の対(U、h)が存在して、次を満たす。

(*1) 任意のφ∈L(V、・・・V;U)に対し、ある Fφ∈Hom(U、U)が一意的に存在して、φ=Fφ*h となる。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

条件(2)

K上のベクトル空間 U と h∈L(V、・・・V;U)の対(U、h)が存在して、次を満たす。

(*2) U は h(V、・・・、V)によって生成される。

(*3) 任意のφ∈L(V、・・・V;U)に対し、ある Fφ∈Hom(U、U)が存在して、φ=Fφ*h となる。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

条件(3)

(U、h)、(U’、h’)が条件(1)または(2)を満たすとする。

このとき、ある同型写像ψ:U→U’が一意的に存在して、h’=ψ*h となる。

証明

これは Z7 を一般化しただけであるから、証明は省略する。

定義 ( 3つ以上のテンソル積 )

Z16 の U を V○・・・○V と表す。

○・・・○V を 『 V、・・・、V のテンソル積 』 という。

また、h(v、・・・、v)を v○・・・○v と表す。

また、h を 『 V○・・・○V の標準写像 』 という。

Z17

、V、V を K 上のベクトル空間とする。

このとき、V○V○V、(V○V)○V、V○(V○V)は同型である。

補足

この定理より、テンソル積は括弧の付け方に関わらず、すべて同型と見なしてよい。

証明

φ:V×V×V→(V○V)○Vをφ(v、v、v)=(v○v)○v で定義する。

明らかに、φは3重線形写像である。

よって、線形写像 F:V○V○V→(V○V)○V が存在して、

F(v○v○v)=φ(v、v、v)となる。(※Z16)

つまり、F(v○v○v)=(v○v)○v である。

( 後は、F が全単射であることを示せばよい )

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

( F が全単射であることを示す )

v∈V とおく。

ψ:V×V→V○V○V をψ(v、v)=v○v○v で定義する。

いま、線形写像 F:V○V→V○V○V が存在して、ψ=F*h となる。(※Z7)

ただし、h:V×V→V○V は標準写像である。

いま、v○v○v=φ(v、v)=F*h(v、v)=F(v○v)である。

また、明らかに、Fv+v’=F+Fv’、Fαv=αF (α∈K)である。(★)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

v∈V とおく。

ζ:(V○V)×V→V○V○V をζ(x、v)=F(x)で定義する。

(★)より、ζ は双線形写像である。

よって、線形写像 G:(V○V)○V→V○V○V が存在して、ζ=G*h’となる。

ただし、h’:(V○V)×V→V○V○V は標準写像である。

x=v○v とおく。

いま、v○v○v=ζ(x、v)=G*h’(x、v)=G(x○v)=G((v○v)○v)である。

よって、F*G=I かつ G*F=I である。

よって、F は全単射である。

よって、F は同型写像である。

よって、V○V○V と (V○V)○V は同型である。

Z18

○W と Hom(V、W)は同型である。

証明

(φ、w)∈V×W とおく。

φ、w:V→W を Fφ、w(v)=φ(v)w で定義する。

明らかに、Fφ、w(v)∈Hom(V、W)である。

ψ:V×W→Hom(V、W)をψ(φ、w)=Fφ、w で定義する。

明らかに、ψは双線形写像である。

よって、ある線形写像 G:V○W→Hom(V、W)が存在して、ψ=G*h となる。(※Z7)

ただし、h:V×W→V○W は標準写像である。

( 後は、G が全単射であることを示せばよい )

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

G が全単射であることを示す。

いま、Fφ、w=ψ(φ、w)=G*h(φ、w)=G(φ○w)である。

また、V○W と Hom(V、W)の次元は等しい。

よって、後は、G が単射であることを示せばよい。

x∈KerG とおく。

いま、x∈V○W である。

よって、x=1≦i≦rφ○w の形で表される。(※Z11)

また、{ w、・・・、w } は1次独立であるとしてよい。(※Z11)

よって、



いま、{ w、・・・、w } は1次独立である。

よって、φ(v)=0 ( i=1、・・・、r )である。

v は任意でよいからφ=0 である。(φ は零写像であるという意味 )

よって、x=0 である。

よって、KerG={0}である。

よって、G は単射である。(※線形代数参照)

以上により、V○W と Hom(V、W)は同型である。