指標の上下

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定義 ( 指標の上下〜その1 )

T=(Tjk)を(1、2)テンソルとする。

(gij)を基本テンソルの反変成分とする。

いま、(gij)は(2、0)テンソルである。(※Z25)

むろん、g と T の縮約 ghjjk は(2、1)テンソルである。

ここで、Tih=ghjjk とおく。

つまり、Tjk が Tij となった。

このように、T に対して基本テンソルを縮約することで、指標を上げることができる。

同様に、gij を用いれば、指標を下げることができる。

むろん、これによって反変ベクトルを共変ベクトルに、共変ベクトルを反変ベクトルに変換できる。

概ねの内容は推測できると思われるが、詳しく以下に書いておこう。

定義 ( 指標の上下〜その2 )

v=(v)を反変ベクトルとする。

φ=(φ)を共変ベクトルとする。

(gij)を基本ベクトルとする。

(gij)を基本ベクトルの反変成分とする。

いま、g と v の縮約 gij は共変ベクトルである。

また、g とφの縮約 gijφ は反変ベクトルである。

=gij とおく。

φ=gijφ とおく。

このとき、v を 『 v の共変成分 』 という。

また、φ を 『φの反変成分 』 という。

Z26

v=(v)、w=(w)をベクトルとする。

このとき、v と w の内積は次のように表せる。

証明

明らかである。