アインシュタインの規約(共変ベクトル、反変ベクトル)

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定義 ( アインシュタインの規約〜その1 )

1つの項の中で、ある指標が上側と下側に1度ずつ現れるとする。

このとき、その指標について総和をとるルールを定める。

これを 『 アインシュタインの規約 』 という。

例えば、次のような式を考えよう。



アインシュタインの規約を用いると、上式を次のように表せる。

アインシュタインの規約は、幾何学や物理学で有用である。

定義 ( アインシュタインの規約〜その2 )

A=(A)を3×3行列とする。

−1 を A の逆行列とする。

これを A−1=()と表す。

つまり、



よく知られているように、AA−1=I、A−1A=I である。

このことを、アインシュタインの規約を用いて表すと、

Z1 ( 基底変換公式 )

V を3次元ベクトル空間とする。

(e、e、e)=(e’、e’、e’)A を基底変換とする。

このとき、次が成り立つ。

(1)の証明

明らかである。

(2)の証明

(1)より明らかである。

Z2 ( 座標変換公式 )

V を3次元ベクトル空間とする。

(e、e、e)=(e’、e’、e’)A を基底変換とする。

v∈V とおく。

いま、v=v=v’e’ と表せる。

このとき、次が成り立つ。

(1)の証明

いま、v=v’e’である。

よって、Ae’=v’e’ である。(※Z1)

よって、v’=A である。

(2)の証明

(1)より明らかである。

定義 ( 双対空間 )

V を 上のベクトル空間とする。

V から への線形写像全体を V と表す。

を 『 V の双対空間 』 という。

注意

以下、あえてアインシュタインの規約を用いないで証明を書く場合もある。

Z3

V を 上のベクトル空間とする。

E={ e、・・・、e } を V の基底とする。

いま、任意の v∈V は一意に v=1≦i≦n ( c ) と表せる。

φ:V→ をφ(v)=c で定義する。

このとき、次が成り立つ。

(1) φ∈V

(2) φ(e)=δ

(3) {φ、・・・、φ}は V の基底である。

(4) dimV=dimV

(1)の証明

明らかである。

(2)の証明

明らかである。

(3)の証明

まず、{φ、・・・、φ}が1次独立であることを示す。

1≦i≦nφ=0 とする。

いま、任意の v∈V に対し、1≦i≦nφ(v)=0 である。

とくに、v=e の場合を考える。

すると、(2)より、c=0 (k=1、・・・、n)である。

よって、{φ、・・・、φ}は1次独立である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、{φ、・・・、φ}が Vを生成することを示す。

ψ∈V とおく。

v∈V とおく。

いま、v=1≦i≦n と表せる。

また、ψ(v)=1≦i≦nψ(e)=1≦i≦nφ(v)ψ(e)である。

ここで、d=ψ(e)∈ とおく。

いま、ψ=1≦i≦nφ である。

これはφ が V を生成することを意味する。

(4)の証明

(3)より明らかである。

定義 ( 双対基底 )

V を 上の n次元ベクトル空間とする。

E={ e、・・・、e } を V の基底とする。

いま、任意の v∈V は一意に v=c+・・・+c と表せる。

φ:V→ を φ(v)=c で定義する。

いま、{φ、・・・、φ}は V の基底である。(※Z3)

{φ、・・・、φ}を 『 E の双対基底 』 という。

上では v=c+・・・+c と書いた。

このとき、(c、・・・、c)を 『 v の座標 』 という。

つまり、双対基底とは、各ベクトルに対してその座標を対応させるベクトルのことである。

Z4 ( 基底変換公式〜双対空間 )

(e、e、e)=(e’、e’、e’)A を基底変換とする。

{φ、φ、φ} を { e、e、e } の双対基底とする。

{φ’、φ’、φ’} を { e’、e’、e’ } の双対基底とする。

このとき、次が成り立つ。

(1)の証明

いま、v=v=v’e’ と表せる。

また、φ’(v)=v’ である。

よって、φ(v)=vv’φ’(v)である。

(2)の証明

(1)より明らかである。

Z5 ( 座標変換公式〜双対空間 )

(e、e、e)=(e’、e’、e’)A を基底変換とする。

φ∈V とおく。

φ(e)=c とおく。

( つまり、φ(v)=1≦i≦nφ(e)=1≦i≦nφ(v)φ(e)=1≦i≦nφ(v)である )

φ(e’)=c’とおく。

このとき、次が成り立つ。

(1)の証明

いま、c’=φ(e’)である。

また、e’ である。(※Z1)

よって、c’=φ()=φ(e)= である。

(2)の証明

(1)より明らかである。

定義 ( 共変ベクトル、反変ベクトル )

Z2 と Z5 に注目しよう。

Z2 は、基底変換(e’、e’、e’)→(e、e、e)に対し、変換が逆方向である。

このようなベクトル v を 『 反変ベクトル 』 という。

Z5 は、基底変換(e’、e’、e’)→(e、e、e)に対し、変換が同方向である。

このようなベクトルφを 『 共変ベクトル 』 という。

定義 ( 共変ベクトルの和・スカラー倍 )

φ、ψを共変ベクトルとする。

( つまり、φ、ψ∈V である )

共変ベクトルの和とスカラー倍を次のように定義する。

(1) (φ+ψ)(v)=φ(v)+ψ(v)

(2) (kφ)(v)=kφ(v)

むろん、φ+ψ、kφ∈V であることを確認しておく必要がある。

これは次のように確認できる。



参考 ( 直交基底において共変性と反変性の区別はなくなる )

V を内積空間とする。

(e、e、e)=(e’、e’、e’)A を直交基底変換とする。

つまり、A は直交行列であり、{ e、e、e }、{ e’、e’、e’ } は V の直交基底である。

いま、A−1A である。

よって、次が成り立つ。(※Z5)



これは反変ベクトルの座標変換公式と同じ向きである。(※Z2)

つまり、直交基底を考える場合には、反変性と共変性の区別がなくなる。

参考 ( 双対性〜その1 )

V と V** は同型である。

ただし、これは有限次元のベクトル空間について成り立つ。

これが 『 双対 』 という名前の由来である。

これについては他章で扱う。

参考 ( 双対性〜その2 )

Z1、Z2、Z3、Z4 を改めてここに書くと、



v=v を反変ベクトルとする。

φ=cφ を共変ベクトルとする。

いま、φ(v)=c である。

よって、v(φ)=v と考えることもできる。

つまり、v は、共変ベクトルφを変数とする線形関数である。

さらに、φが写像であるという見方を捨てて、V の変換則のみを双対空間の定義として採用できる。

つまり、V の定義として(*3)と(*4)を採用する。

この立場から v と φ の積として次のように定義する。



あるいは、次のように定義できる。(※Z3)

以上から分かるように、反変ベクトルと共変ベクトルは対等である。

これを 『 双対性 』 という。

反変ベクトルを列ベクトルで、共変ベクトルを行ベクトルで表すことが多い。

つまり、



よって、