ベクトル場、テンソル場

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定義 ( スカラー場 )

各点 P に対し、実数 f(P)を対応させる。

このような対応を 『 スカラー場 』 という。

定義 ( 反変ベクトル場 )

各点 P に対し、反変ベクトル v(P)を対応させる。

このような対応を 『 反変ベクトル場 』 という。

定義 ( 共変ベクトル場 )

各点 P に対し、共変ベクトル v(P)を対応させる。

このような対応を 『 共変ベクトル場 』 という。

定義 ( テンソル場 )

各点 P に対し、テンソル T(P)を対応させる。

このような対応を 『 テンソル場 』 という。

Z29

基本テンソルは、2階共変テンソル場である。

補足

いま、g は基本テンソルである。

つまり、g:V×V→ を g(v、w)=v・w で定義する。

これを、各点のベクトルについて内積をとるものとして考えればよい。

証明

明らかである。(※Z23の補足)

Z30

g を基本テンソルとする。

(u)、(u’)を曲線座標系とする。

(x)を直交座標系とする。

(u’、u’、u’)を座標変換とする。

(x、x、x)を座標変換とする。

このとき、次が成り立つ。

(1)の証明

Z27 より、

(2)の証明

(1)と同様である。

(3)の証明

(2)を行列の形で書いただけである。

(3)の証明

直交座標系では g=(δab)である。

よって、(3)より、明らかである。