ベクトル積〜その1

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注意 ( ベクトルの表記 )

a∈ とおく。

このとき、次の2通りに表せる。



前者を 『 行ベクトル 』 という。

後者を 『 列ベクトル 』 という。

スペースの都合上、列ベクトルを a=(a、・・・、a)と表すこともある。

行ベクトル、列ベクトルに本質的な違いはない。

定義 ( ベクトル積:3次元 )

x、y∈ とおく。

x=(x、x、x)、y=(y、y、y)とおく。

次のように定義する。



このとき、x×y を 『 x と y のベクトル積 』 という。

=(1、0、0)、e=(0、1、0)、e=(0、0、1)とする。

いま、形式的に次のように表せる。



実際、(*)を第1列について余因子展開すると、



これは定義の式と一致する。

、x、x、y、y、y は実数だが、e、e、e はベクトルである。

なので、(*)は本来の行列式とは異なる。

だから、上では 「 形式的に 」 という表現を用いたのである。

S1

x、y、z∈ とおく。

このとき、(x×y)・z=det(x、y、z)である。

補足

det(x、y、z)は、x、y、z の成分を書き並べた3×3行列の行列式を意味する。

証明

明らかである。(※定義:ベクトル積)

S2

x、y∈ とおく。

このとき、(x×y)・x=0、(x×y)・y=0 である。

補足

つまり、x×y は、x と y の両方と直交する。

証明

同じ列(または行)をもつ行列式は 0 になる。(※線形代数)

よって、成り立つ。(※S1)