ベクトル積〜その2

サイトのTOP→理系インデックス
初等微分幾何のTOP→初等微分幾何インデックス





復習 ( 余因子 )

A を n 次行列とする。

ij を、A の第 i 行と第 j 列を除いて構成される(n−1)次行列とする。

ij=(−1)i+jdetAij と定義する。

このとき、Aij を 『 A の第(i、j)余因子 』 という。

S3 ( 内積の非退化性 )

a∈ とおく。

任意の x∈ に対し、(a、x)=0 であるとする。

このとき、a=0 である。

これを 『(内積の)非退化性 』 という。

補足

この定理によって次のことが分かる。

(*) 任意の x∈ に対して(a、x)=(b、x)ならば、a=b である。

実際、(a、x)=(b、x)を変形すれば、(a−b、x)=0 であるから、a−b=0 である。

証明

E={ e、・・・、e } を の自然基底とする。

いま、a=c+・・・+c と表せる。

よって、(a、e)=c である。

よって、c=0 である。

よって、a=0 である。

定義 ( ベクトル積:n次元 )

、・・・、an−1 とおく。

x∈ とおく。

A=(a、・・・、an−1、x)とおく。( つまり、A は n 次行列である )

in を A の第(i、n)余因子とする。

b=(A1n、・・・、Ann)∈ とおく。

いま、b は a、・・・、an−1 によって定まる。

そこで、b を [ a、・・・、an−1 ] と表す。

このとき、[ a、・・・、an−1 ] を 『 a、・・・、an−1 のベクトル積 』 という。

つまり、[ a、・・・、an−1 ]∈ である。

S4

、・・・、an−1 とおく。

このとき、次が成り立つ。

(1) 任意の x∈ に対し、([a、・・・、an−1]、x)=det(a、・・・、an−1、x)である。

(2) 「 a、・・・、an−1 が1次従属 」 ⇔ [ a、・・・、an−1 ]=0

(3) a、・・・、an−1 と [a、・・・、an−1] は直交する。

(4) [a、・・・、a、・・・、a、・・・、an−1]=−[a、・・・、a、・・・、a、・・・、an−1

(5) (b、・・・、bn−1)=(a、・・・、an−1)C ならば、[b、・・・、bn−1]=(detC)[a、・・・、an−1 ]である。

ただし、(5)において、C は(n−1)次行列であるとする。

補足

ただし、(1)の式の左辺は内積である。

(1)の証明

いま、det(a、・・・、an−1、x)=1≦i≦nin である。(※余因子展開)

また、([a、・・・、an−1]、x)=1≦i≦ninである。(※定義:ベクトル積)

(2)の証明

、・・・、an−1 は1次従属であると仮定する。

いま、任意の x∈ に対し、det(a、・・・、an−1、x)=0 である。(※線形代数)

よって、(1)より、任意の x∈ に対し、([a、・・・、an−1]、x)=0 である。

よって、[a、・・・、an−1]=0 である。(※S3)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

[a、・・・、an−1]=0 と仮定する。

、・・・、an−1 は1次独立であるとする。(背理法)

いま、ある a が存在して、{a、・・・、a}は の基底となる。(※線形代数)

よって、det(a、・・・、a)≠0 である。(※線形代数)

よって、(1)より、([a、・・・、an−1]、a)≠0 である。

よって、[a、・・・、an−1]≠0 である。

これは仮定と矛盾する。

よって、a、・・・、an−1 は1次従属である。

(3)の証明

i∈{1、・・・、n−1}とおく。

線形代数でよく知られているように、同じ列をもつ行列式の値は 0 である。

よって、(1)より、([a、・・・、an−1]、a)=0 である。

(4)の証明

(1)より、



よって、定理の式が成り立つ。(※S3の補足)

(5)の証明

次のような置換σを考える。



sgn(σ)をσの符合とする。

( つまり、σが n 個の互換の積で表されるならば、sgn(σ)=(−1) である )

いま、(4)より、次のように表せる。



ここで、C=(cij)とおく。

いま、行列式の定義より、次が成り立つ。(※線形代数)



また、次のように表せる。



(*3)、(*1)、(*2)より、

S5 ( ベクトル積:3次元 )

x、y∈ とおく。

x=(x、x、x)、y=(y、y、y)とおく。

このとき、次が成り立つ。

補足

つまり、定義(ベクトル積:n次元)において n=3 とすると、これは定義(ベクトル積:3次元)に一致する。

証明

明らかである。

S6

x、y、z∈ とおく。

a∈ とおく。

このとき、次が成り立つ。

(1) (ax)×y=x×(ay)=a(x×y)

(2) (x+y)×z=x×z+y×z

(3) x×(y+z)=x×y+x×z

(4) x×y=−y×x

(5) x×x=0

証明

明らかである。

S7

x、y、z、w∈ とおく。

A を2次行列とする。

(x、y)=(z、w)A であるとする。

このとき、x×y=(detA)(z×w)である。

補足

この定理は既に示されている。(※S4(5))

しかし、ここでは改めて直接的な証明を書いておこう。

証明

A=(aij)とおく。

いま、次が成り立つ。(※S6)

補足

(x、y)や(z、w)は内積ではなくて3×2行列を意味する。

このことは文脈から明らかである。

このことに注意すると、定理の仮定より、



つまり、x=a11z+a21w、y=a12z+a22w である。

上の証明ではこのことを使用した。

S8

x、y、z、w∈ とおく。

このとき、次が成り立つ。

補足

とくに、(3)より、

(1)の証明

明らかである。(※S4(1))

(2)の証明

明らかである。(※S4(1))

(3)の証明

次のようにおく。



いま、



一方、

(4)の証明

w∈ とおく。

(1)、(3)より、



つまり、任意の w∈ に対して((x×y)×z、w)=((x、z)y−(y、z)x、w)である。

よって、(x×y)×z=(x、z)y−(y、z)x である。(※S3の補足)

(5)の証明

(4)と同様である。