曲面上のベクトル場

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注意

φ:D→ を2次元的曲面とする。

( つまり、D は の開集合である )

S=φ(D)とおく。

このとき、S を 『 曲面 』 と呼ぶことも多い。

注意

Γ:I→ を曲線とする。

C=Γ(I) とおく。

このとき、C を 『 曲線 』 と呼ぶことも多い。

定義 ( 曲面上のベクトル場 )

S を 内の曲面とする。

X:S→3×2 をベクトル場とする。

このとき、X を 『 S のベクトル場 』 という。

参考 ( ベクトル場の定義域〜その1 )

φ:D→ を2次元的曲面とする。

( つまり、D は の開集合である )

S=φ(D)とおく。

X を S のベクトル場とする。

いま、X の定義域は何であろうか?

上の定義では、X の定義域は S である。

しかし、X*φ:D→3×2 を曲面 S のベクトル場と考えても自然であろう。

よって、ベクトル場 X の定義域を D として考えることもある。

参考 ( ベクトル場の定義域〜その2 )

Γ:I→ を曲線とする。

Γ’をΓの速度ベクトルとすると、Γ’(t)=(Γ(t);Γ’(t)、Γ’(t)、Γ’(t))である。(※定義:速度ベクトル)

いま、Γ’の定義域は I である。

しかし、Γ’の定義域をΓ(I)と見なすこともできるであろう。

参考

以上で述べたように、幾何学の定義域には次のように2通りの見方がある。

(1) 像を定義域と見なす。

(2) 背後にあるパラメータの定義域に注目する。