方向微分〜その1(関数)

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定義 ( 関数の方向微分〜その1 )

U を の開集合とする。

f:U→ を関数とする。

p∈U とおく。

v∈ とおく。

( つまり、v は点 p を始点とする n次元ベクトルである )

Γ:I→U を曲線とし、Γ’(0)=v であるとする。

f=(f*Γ)’(0)と定義する。

このとき、∇f を 『 v に沿う f の方向微分 』 という。

(f*Γ)’は普通の関数の微分である。

f は単なる実数である。

むろん、v に∇f を対応させて、 から への写像と見なすこともできる。

f を定義する式にはΓが書かれている。

ところが、実は、∇f はΓに依存しない。

( つまり、条件を満たすものであればΓは任意でよい )

このことは次の定理によって分かる。

C1

U を の開集合とする。

f:U→ を関数とする。

p∈U とおく。

v∈ とおく。

このとき、∇f=∇f(p)・v である。

補足

これは∇f がΓに依存しないことを意味する。

証明

Γを定義(関数の方向微分〜その1)の意味でとる。

いま、∇f=(f*Γ)’(0)=∇f(Γ(0))・Γ’(0)=∇f(p)・v である。(※合成関数の微分)

定義 ( 関数の方向微分〜その2 )

S を曲面とする。

f:S→ を関数とする。

p∈S とおく。

v∈TS とおく。

( つまり、v は点 p における S の接ベクトルである )

Γ:I→S を曲線とし、Γ’(0)=v であるとする。

f=(f*Γ)’(0)と定義する。

このとき、∇f を 『 v に沿う f の方向微分 』 という。

C2

S を曲面とする。

f:S→ を滑らかな関数とする。

( つまり、滑らかな関数 F:U→ が存在して、f は F の制限となる )

p∈S とおく。

v∈TS とおく。

このとき、∇f=∇F(p)・v である。

証明

Γを定義(関数の方向微分〜その2)の意味でとる。

いま、∇f=(F*Γ)’(0)=∇F(Γ(0))・Γ’(0)=∇F(p)・v である。(※合成関数の微分)