方向微分〜その2(ベクトル場)

サイトのTOP→理系インデックス
初等微分幾何のTOP→初等微分幾何インデックス





定義 ( ベクトル場の方向微分〜その1 )

U を の開集合とする。

X:U→2n をベクトル場とする。

p∈U とおく。

v∈ とおく。

Γ:I→U を曲線とし、Γ’(0)=v であるとする。

X=(X*Γ)’(0)と定義する。

このとき、∇X を 『 v に沿う X の方向微分 』 という。

定義 ( ベクトル場の方向微分〜その2 )

S を曲面とする。

X:S→2n をベクトル場とする。

p∈S とおく。

v∈TS とおく。

Γ:I→U を曲線とし、Γ’(0)=v であるとする。

X=(X*Γ)’(0)と定義する。

このとき、∇X を 『 v に沿う X の方向微分 』 という。

C3

定義(ベクトル場の方向微分〜その1)または定義(〜その2)の状況を引き継ぐ。

X(p)=(p;X(p)、・・・、X(p))とおく。

このとき、次が成り立つ。

補足

(1)〜(6)は同じ意味である。

補足

(1)を ∇X=(X(p);(X*Γ)’(0)、・・・、(X*Γ)’(0))と書いても意味は同じである。

(3)を ∇X=(X(p);X(p+tv)’(0)、・・・、X(p+tv)’(0))と書いても意味は同じである。

(4)を ∇X=(X(p);(X(p+tv)’(0)))と書いても意味は同じである。

補足

X が S 上のベクトル場である場合、(2)の ∇、・・・、∇ は意味をもたない。

しかし、これは C2 と同様に考えればよい。

証明

(1)は定義そのままである。

(2)は(1)を計算したものである。(※合成関数の微分)

また、(2)は定義(ベクトル場の微分)がΓの取り方に依存しないことを意味する。

つまり、Γ’(0)=v を満たすならば、Γは任意でよい。

そこで、Γ(t)=p+tv としてよい。

これで(1)から(3)が得られる。

(4)は(3)を書き換えただけである。

(5)は(2)を書き換えただけである。(※C1)

(6)は(5)を書き換えただけである。

C4

定義(ベクトル場の方向微分〜その1)または定義(〜その2)の状況を引き継ぐ。

このとき、次が成り立つ。

(1) ∇(X+Y)=∇X+∇

(2) ∇(fX)=(∇f)X(p)+f(p)∇

(3) ∇(X・Y)=∇X・Y(p)+X(p)・∇

証明

明らかである。

参考

p=(2、−1、0)とおく。

v=(1、0、2) とおく。

X=x+yzE とおく。

いま、p+tv=(2+t、−1、2t)である。

よって、X(p+tv)=(2+t)(p+tv)−2tE(p+tv)である。

よって、∇X=X(p+tv)’(0)=4E(p)−2E(p)である。

参考

接ベクトル場の方向微分が接ベクトル場であるとは限らない。

ただし、後で 『 共変微分 』 というものが登場する。

共変微分は、ベクトル場の方向微分から、接空間と平行な成分を取り出したものである。

なので、共変微分は接ベクトル場である。

C5 ( 重要な読み替え )

D を の開集合とする。

φ:D→ を2次元的曲面とする。

S=φ(D)おく。

X:S→3×2 をベクトル場とする。

D の座標を(u、v)とする。

このとき、次の(*1)と(*2)は同じ意味である。



つまり、次の(1)、(2)は同じである。

(1) X の定義域を S と視たときのφ に沿う方向微分

(2) X の定義域を D と視たときの u に沿う偏微分

補足

ここでは u について書いたが、v についても同様に成り立つ。

証明

φ をφの u-曲線とする。

つまり、φ はφ(u、v)の v を固定して u を動かすことで得られる曲線である。

いま、(*2)は次のように表せる。



明らかに、(*1)と(*3)は同じ意味をもつ。(※定義:ベクトル場の方向微分〜その2)