ワインガルテン写像(自己随伴)

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参考

このページでは正則曲面とレベル曲面について、ワインガルテン写像の自己随伴性を示す。

C8 ( ワインガルテン写像は内積に関して対称 )

φ:D→ を2次元的曲面とする。

S=φ(D)とおく。

u、v∈TS とおく。

このとき、(Wu)・v=u・(Wv)である。

補足

つまり、ワインガルテン写像は内積に関して対称である。

これを 『 自己随伴 』 ということもある。

証明

N を S の向きとする。

つまり、



いま、φは正則曲面なので、||∂φ×∂φ||≠0 である。(※定義:正則曲面)

また、∂φ×∂φ は∂φ と∂φ の両方と直交する。

よって、N は単位法ベクトル場である。

ただし、N の定義域はφ(D)ではなくて D である。

いま、N・∂φ=0 である。

よって、これを v に関して偏微分すると、∂N・∂φ+N・∂φ=0 である。

よって、∇φN・∂φ+N・∂φ=0 である。(※C5)(★)

一方、−∇φN=W∂φ である。

よって、(W∂φ)・∂φ=N・∂φ=N・∂φ=(W∂φ)・∂φ である。

C9 ( ワインガルテン写像は内積に関して対称 )

S をレベル曲面とする。

任意の v、w∈TS に対し、W(v)・w=v・W(w)である。

証明

S=f−1(c)とおく。

N を S の向きとする。

つまり、N(p)=∇f(p)/|| f(p)|| である。

いま、∇f(p)・w=0 である。(※B4)

よって、



v と w を入れ替えて同様の計算を行うと、



また、微分積分学でよく知られているように、



よって、W(v)・w=W(w)・v である。