曲面の向きづけ

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定義 ( 法ベクトル )

S を 内の曲面とする。

p∈S とおく。

n∈ とおく。

n は TS と直交するとする。

( つまり、任意の v∈TS に対して n・v=0 となるとする )

このとき、n を 『 点 p における S の法ベクトル 』 という。

むろん、n が法ベクトルならば、−n も法ベクトルである。

定義 ( 法ベクトル場 )

S を 内の曲面とする。

任意の点 p∈S に対し、S の法ベクトルが対応しているとする。

このようなベクトル場を 『 Sの法ベクトル場 』 という。

とくに、任意の法ベクトルの大きさが1であるとき、『 単位法ベクトル場 』 という。

定義 ( 曲面の向き )

S を 内の曲面とする。

N:S→2n を S 上の連続な単位法ベクトル場とする。

このとき、N を 『 S の向き 』 という。

定義 ( 向きづけ可能性 )

S を 内の曲面とする。

S の向きが存在するとき、「 S は向きづけ可能である 」 という。

B4

S をレベル曲面とする。

p∈S とおく。

このとき、∇f(p)は、点 p における S の法ベクトルである。

証明

いま、S=f−1(c)と表せる。

v を、点 p における f−1(c)の接ベクトルとする。

いま、ある曲線Γ:I→f−1(c)が存在して、Γ’(0)=v となる。

また、Γ(I)⊂f−1(c)は、f(Γ(t))=c ( t∈I ) を意味する。

よって、(f*Γ)’(0)=0 である。

一方、(f*Γ)’(0)=∇f(Γ(0))・Γ’(0)=∇f(p)・Γ’(0)である。(※合成関数の微分)

よって、∇f(p)・Γ’(0)=0 である。

つまり、∇f(p)・v=0 である。

定義 ( レベル曲面の向き )

S をレベル曲面とする。

いま、S=f−1(c)である。

また、任意の点 p∈S に対して ∇f(p)≠0 である。

よって、N(p)=∇f(p)/|| ∇f(p)|| と定義できる。

いま、N は連続な単位法ベクトル場である。(※B4)

そこで、この N を 『 Sの向き 』 として採用する。

定義 ( 正則曲面またはパラメータ付き曲面の向き )

φ:D→ を2次元的曲面とする。

いま、任意の x∈D に対し、∂φ(x)と∂φ(x)は1次独立である。

よって、||∂φ(x)×∂φ(x)||≠0 である。

よって、N(p)=||∂φ(x)×∂φ(x)||−1φ(x)×∂φ(x)と定義できる。

明らかに、N は連続な単位法ベクトル場である。

そこで、この N を 『 φの向き 』 として採用する。

参考

上で定義したように、レベル曲面や正則曲面は向きづけ可能である。

一方、多様体は向きづけ可能とは限らない。

B5

連結なレベル曲面において、曲面上の連続な単位法ベクトル場は一意に定まる。

ただし、符合による向きの違いは除く。

証明

S を連結なレベル曲面とする。

を S 上の連続な単位法ベクトル場とする。

:S→ を連続な単位法ベクトル場とする。

いま、N(p)と N(p) は、TS に垂直である。

g:S→ を g(p)=N(p)・N(p)で定義する。

いま、g は連続関数である。

また、N(p)と N(p)は単位ベクトルである。

よって、g(p)=±1である。

いま、g は連続であり、その定義域 S は連結である。

よって、g は定数である。

よって、N=N または N=−N である。

参考

メビウスの帯はレベル曲面ではない。

S を 内のメビウスの帯とする。

明らかに、Sは連結である。

ただし、S上に連続な単位法ベクトル場は存在しない。

このことを確認してみよう。

まず、S上のある点において単位法ベクトルを考える。

そして、この点を連続的に移動させ、各点における単位法ベクトルを考える。

さらに、円を描くように1周させて単位法ベクトル場を構成する。



このとき、1周した後の単位法ベクトルは、出発点の単位法ベクトルの逆方向を向いている。

つまり、S上に連続な単位法ベクトル場が存在しない。

よって、メビウスの帯はレベル曲面ではない。

定義 ( 同調 )

S を 内の曲面とする。

N を S の向きとする。

TS を、点 p∈S における S の接空間とする。

{ v、・・・、vn−1 } を TS の基底とする。

( つまり、 v、・・・、vn−1 は、点 p を始点とするベクトルである )

次が成り立つとする。

(*) det(v、・・・、vn−1、N(p))>0

このとき、「{ v、・・・、vn−1 }は N と同調する 」 という。

参考 ( 曲面はどれも同じ )

既に述べたように、多様体は向きづけ可能とは限らない。

なので、多様体の向きづけ可能性をさらに詳細に議論することも重要である。

しかし、これは少し複雑なので省略する。

ただし、結局のところ、多様体が向け付け可能であるとして議論することが多い。

さらに、向きづけ可能であるならば、結局、話は他の曲面と同じである。

つまり、大胆に言えば、

「 曲面上に連続な単位法ベクトル場があると仮定すれば、どの曲面でも話は同じ 」

・・・ということである。