チャート(局所座標)をもつ曲面

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定義 ( チャートをもつ曲面 )

S を の部分集合とする。

p∈S とおく。

V⊂ を p の近傍とする。

ある開集合 U⊂、写像φ:U→V∩S が存在して、次を満たすとする。

(1) φ(u、v) は C級である。

(2) φ:U→V∩S は同相写像である。

(3) ∂φ/∂u と ∂φ/∂v は任意の点 q∈U で1次独立である。

このとき、φ を 『 点 p における S のチャート 』 という。

チャートを 『 局所座標 』 と呼ぶことも多い。

(1)の補足

つまり、φ=(φ、φ、φ)とおくと、φ(u、v)、φ(u、v)、φ(u、v) は C級である。

(2)の補足

つまり、φ:U→V∩S は全単射かつ連続で、その逆写像も連続である。

参考

S をチャートをもつ曲面とする。

このとき、次は同値である。

(1) ある曲線 α:I→S が存在する。

(2) あるチャートφ:U→S、平面曲線Γ:I→U が存在して、α=φ*Γ と表せる。

証明

いま、α=φ*(φ−1*α) と表せる。

また、φ−1*α:I→U⊂ は平面曲線である。

つまり、Γ=φ−1*αと見なせばよい。