微分形式

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参考

このページでは微分形式を形式的に説明する。

形式的な説明から入るので、序盤は意味不明であるかもしれない。

しかし、読み進めていくうちに。これらの取り決めが有用であることが分かるであろう。

定義 ( 0次微分形式 )

次式を 『 0次微分形式(0-形式)』 という。

1変数 : f(x)

2変数 : f(x、y)

3変数 : f(x、y、z)

つまり、0-形式とは、通常の関数ことである。

定義 ( 1次微分形式 )

次式を 『 1次微分形式(1-形式)』 という。

1変数 : f(x)dx

2変数 : f(x、y)dx+g(x、y)dy

3変数 : f(x、y、z)dx+g(x、y、z)dy+h(x、y、z)dz

ここで、dx や dy は単なる記号と思ってよい。

注意

1-形式には通常の加法・減法を定義する。

つまり、同じ変数 ( dx や dy のこと ) の係数同士でのみ加法・減法を定義する。

定義 ( 2次微分形式 )

次式を 『 2次微分形式(2-形式)』 という。

1変数 : 0 のみ

2変数 : f(x、y)dx∧dy

3変数 : f(x、y、z)dy∧dz+g(x、y、z)dz∧dx+h(x、y、z)dx∧dy

記号 ∧ を 『 外積 』 または 『 ウェッジ積 』 という。

これは単なる記号と考えてよい。

ただし、次のようなルールを付ける。

注意

2-形式の外積は次のルールを満たすとする。

(*1) dx∧dx=−dx∧dx

(*2) adx∧(bdx+bdx+・・・)=adx∧dx+adx∧dx+・・・

(*3) (adx+adx+・・・)∧bdx=adx∧dx+adx∧dx+・・・

(*1)を 『 交代性 』 または 『 反対称性 』 という。

(*2)と(*3)を 『 分配則 』 という。

Z1

次が成り立つ。

(1)の証明

いま、dx∧dx=−dx∧dx である。(※交代性)

よって、dx∧dx=0 である。

(2)の証明

明らかである。

(3)の証明

明らかである。

定義 ( 3次微分形式 )

次式を 『 3次微分形式(3-形式)』 という。

1変数 : 0 のみ

2変数 : 0 のみ

3変数 : f(x、y、z)dx∧dy∧dz

4変数 : fdx∧dy∧dz+fdt∧dx∧dy+fdt∧dx∧dz+fdt∧dy∧dz

ただし、4変数では変数を(t、x、y、z)としている。

注意

3-形式の外積は次のルールを満たすとする。

(*) dx∧(dy∧dz)=(dx∧dy)∧dz=dx∧dy∧dz

これを 『 結合則 』 という。

Z2

ω=a11dx+a12dx+a13dx とおく。

ω=a21dx+a22dx+a23dx とおく。

ω=a31dx+a32dx+a33dx とおく。

このとき、次が成り立つ。

証明

明らかである。