微分形式の積分

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参考

通常の積分、線積分、面積分、微分形式を関連付けることができる。

このページでは、これについて説明しよう。

定義 ( 1変数1-形式の積分 )

ω=f(x)dx を1-形式とする。

ただし、f の定義域は I=[a、b] であるとする。

次のように定義する。

定義 ( 2変数1-形式の積分 )

ω=f(x、y)dx+g(x、y)dy を1-形式とする。

Γ(t)=(x(t)、y(t))を曲線とする。

Γの定義域を [a、b] とする。

次のように定義する。



むろん、上式右辺の被積分はωの t への変数変換である。(※Z6)

つまり、



一方、接線線積分∫ΓF は、



よって、∫Γω=∫ΓF である。

むろん、(*2)の左辺を次のように表すことは自然であろう。



これは(*1)の左辺と同じである。

つまり、記号としても、微分形式と線積分は整合している。

上の定義はパラメータの表示に依存しない。

これを確認してみよう。

Γ=(x(t)、y(t))=(x’(t’)、y’(t’))を曲線とする。

置換積分の公式、合成関数の微分法より、



最後の式変形を難しく感じる人がいるかもしれない。

これは x’(t’)=x(t(t’)) と y’(t’)=y(t(t’))に合成関数の微分法を用いたものである。

定義 ( 2変数2-形式の積分 )

ω=f(x、y)dx∧dy を2変数2-形式とする。

D を の領域とする。

次のように定義する。

ただし、次のように計算するとおかしなことになる。

(*) ∫fdx∧dy=∫(−f)dy∧dx=−∫fdy∧dx

なので、このような計算は行わないことにする。

定義 ( 領域の裏返し )

ω=f(x、y)dx∧dy を2変数2-形式とする。

次のように定義する。

これは、次と同様である。

Z7

ω=f(x、y)dx∧dy を2変数2-形式とする。

ωの変数を(u、v)に変換したものをω’と表す。

D に対応する(u、v)座標上の領域を D’とする。

このとき、

証明

明らかである。(※Z6、定義:2変数2-形式の積分)

Z8

ω=f(x、y)dx∧dy を2変数2-形式とする。

ωの変数を(u、v)に変換したものをω’と表す。

D に対応する(u、v)座標上の領域を D’ とする。

このとき、

(1) ∂(x、y)/∂(u、v)>0 ⇒ ∫ω=∫D’ω’

(2) ∂(x、y)/∂(u、v)<0 ⇒ ∫ω=∫−D’ω’

証明

微分積分学でよく知られているように次が成り立つ。(※変数変換公式)



( ヤコビ行列式に絶対値が付いていることに注意 )

よって、明らかである。

定義 ( 3変数2-形式の積分 )

ω=f(x、y、z)dy∧dz+g(x、y、z)dz∧dx+h(x、y、z)dx∧dy を3変数2-形式とする。

Γ(u、v)=(x(u、v)、y(u、v)、z(u、v))を曲線とする。

次のように定義する。



むろん、上式右辺の被積分はωの(u、v)への変数変換である。(※Z6)

上の定義はパラメータに依存しない。

つまり、Γ=(x(t)、y(t)、z(t))=(x’(t’)、y’(t’)、z’(t’))とすると、



このことは、定義(2変数1-形式の積分)の2番目の補足と同様に示される。