外微分、ポアンカレの補題

サイトのTOP→理系インデックス
ベクトル解析のTOP→ベクトル解析インデックス





定義 ( 全微分 )

次式を 『 f の全微分 』 という。

1変数 : df=(df/dx)dx

2変数 : df=(∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dy

3変数 : df=(∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dy+(∂f/∂z)dz

つまり、f の微分は1-形式である。

定義 ( 外微分 )

ω=f(x、・・・、x)dxi1∧・・・∧dxik を n 変数 k 次微分形式とする。

次のように定義する。



つまり、



このとき、dωを 『 ωの外微分 』 という。

つまり、外微分は(k+1)-形式である。

Z3 ( 微分形式と grad、rot、div )

次が成り立つ。

補足

(1)の係数は、gradf になっている。

(2)の係数は、グリーンの公式でよく知られている。

(3)の係数は、F=(f、g、h)とおけば、rotF である。

(4)の係数は、F=(f、g、h)とおけば、divF である。

(1)の証明

定義そのままである。

(2)の証明

計算すると、

(3)の証明

計算すると、

(4)の証明

計算すると、

Z4

ωを微分形式とする。

このとき、d(dω)=0 である。

補足

つまり、どんな微分形式も、外微分を2回すると 0 になる。

証明

ω=f(x、・・・、x)dxi1∧・・・∧dxik とおく。

( つまり、ωは n 変数 k 次微分形式である )

計算すると、次が成り立つ。(※交代性に注意)



ただし、上の計算では、frs=fsr を用いた。

Z5

次が成り立つ。

(1) rot(gradf)=0

(2) div(rotF)=0

証明

明らかである。(※Z4、Z3)

参考

初等的なベクトル解析の書物では、Z5の(1)と(2)は個別に示される。

つまり、定義から直接的に計算して示される。

一方、微分形式では統一的に d(dω)=0 と表せる。

参考

既に示したように、ω=dμならば dω=0 である。(※Z4)

では、この逆は成り立つだろうか?

つまり、

(*) dω=0 ならば、ある微分形式μが存在して、ω=dμと表せるだろうか?

この問題は重要である。

例えば、F をベクトル値関数として特別な場合に言い換えると、

(*) rotF=0 ならば、ある関数 f(x、y、z) が存在して、F=gradf となるだろうか?

・・・ということである。

残念ながら、これがつねに成り立つわけではない。

しかし、ωやμの定義域に注意すれば成り立つ。

とくに、定義域が 全体ならば成り立つ。

しかし、 から原点を取り除くと、成り立たない場合が出てくる。

そこで、どのような条件であれば成り立つのか気になるところである。

その1つの答えは 『 ポアンカレの補題 』 である。

ポアンカレの補題を紹介する前に、まずは星型領域を定義しておこう。

定義 ( 星型領域 )

D を の領域とする。

ある点 p∈D が存在して、次が成り立つとする。

(*) 任意の点 x∈D に対し、p と x を結ぶ線分は D に含まれる。

このとき、D を 『 星型領域 』 という。

つまり、星型領域は穴が空いていない領域である。

参考 ( ポアンカレの補題 )

ωを微分形式とする。

ωの定義域は星型領域であるとする。

このとき、ある微分形式μが存在して、ω=dμとなる。

証明

省略する。

この辺りはポテンシャル論への入口である。

しかし、これは今回の目的とは異なるので扱わない。