流量の面積分は3変数2-形式で表せる

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Z9

v=(v、v、v)とおく。

このとき、次が成り立つ。

補足

つまり、ndS=(dy∧dz、dz∧dx、dx∧dy)と見なせる。

証明

曲面 S を r(u、v) でパラメータ表示する。

曲面 S を細かい網目に分割する。

網目を十分小さくとれば、これは次の2つのベクトルを辺にもつ平行四辺形で近似できる。



図示すると、



さらに、ベクトル(*1)は、次のように表せる。



同様に、



上式において、o(Δu) は誤差項であり、o(Δu)/Δu→0 ( Δu→0 ) となる。

これは微分積分学でよく知られている。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

いま、曲面 S には単位法ベクトル場がある。

よって、向きを選べば、(∂r/∂u)Δu×(∂r/∂v)Δv=nΔS である。



一般に、ベクトル a=(a、a、a)、b=(b、b、b)に対し、次が成り立つ。

(*) a×b=(a−a、a−a、a−a)である。

よって、nΔS=(∂(y、z)/∂(u、v)、∂(z、x)/∂(u、v)、∂(x、y)/∂(u、v))ΔuΔv である。

よって、定義(3変数2-形式の積分)、Z6 より、